W ciągu geometrycznym przez S_n oznaczamy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych n ≥ 1. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: S₁=2 i S₂=12. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: q = 5, a₅ = 1250
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu.
S₁ to suma pierwszego wyrazu, czyli tak naprawdę jest to wartość a₁. Możemy więc od razu zapisać, że a₁=2.
S₂ to suma dwóch pierwszych wyrazów, czyli a₁+a₂. Wartość a₁ już znamy i jest to 2, zatem:
a₁+a₂=12 2+a₂=12 a₂=10
Krok 2. Obliczenie iloczynu tego ciągu.
Skoro znamy wartości a₁ oraz a₂ to bez problemu możemy wyznaczyć wartość ilorazu q:
q=a₂/a₁ q=10/2 q=5
Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze wyznaczyć wartość piątego wyrazu. Skorzystamy tutaj ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
a_n=a₁ · q^(n-1) a₅=a₁ · q^(5-1) a₅=a₁ · q⁴
Podstawiając znane nam dane, czyli a₁=2 oraz q=5 otrzymamy:
a₅=2 · 5⁴ a₅=2 · 625 a₅=1250
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.