Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ∢ACB ma miarę 120° . Ponadto wiadomo, że |BC|=10 i |AB|=10√(7) (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: |AC| = 20
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W tym zadaniu musimy zauważyć, że dorysowując wysokość padającą na bok CA utworzy nam się tak naprawdę połowa trójkąta równobocznego. Wszystko wyjaśni poniższy rysunek:
Kąt DCB ma na pewno miarę 60°, gdyż jest to kąt przyległy do kąta 120°, a suma kątów przyległych musi być równa 180°.
Krok 2. Obliczenie wysokości BD.
Wysokość trójkąta równobocznego obliczymy korzystając ze wzoru:
h=a√(3)/2
Wiemy, że bok naszego trójkąta równobocznego ma długość a=10, bo odcinek |BC|=10. Zatem:
h=10√(3)/2 h=5√(3)
Krok 3. Obliczenie długości DA.
Spójrzmy teraz na trójkąt DAB. Jest to trójkąt prostokątny w którym znamy długości dwóch boków: BD=5√(3) oraz |AB|=10√(7). Korzystając zatem z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość odcinka DA:
|BD|²+|DA|²=|AB|² (5√(3))²+|DA|²=(10√(7))² 25 · 3+|DA|²=100 · 7 75+|DA|²=700 |DA|²=625 |DA|=25 |DA|=-25
Ujemny wynik tego równania kwadratowego oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W związku z tym |DA|=25.
Krok 4. Obliczenie długości DC.
Długość DC zgodnie z własnościami trójkątów równobocznych jest równa połowie długości boku trójkąta (bo wysokość dzieli nam podstawę tego trójkąta na dwie równe części). Stąd też:
|DC|=10:2 |DC|=5
Krok 5. Obliczenie długości CA.
Wiemy już, że |DA|=25. Wiemy też, że |DC|=5. Różnica tych dwóch długości da nam odpowiedź na to jaką długość ma nasz poszukiwany odcinek CA:
|CA|=|DA|-|DC| |CA|=25-5 |CA|=20
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.