Rozwiąż nierówność x(7x+2) > 7x+2.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x ∈ (-∞, -2/7) ∪ (1, +∞)
Przyglądając się tej nierówności dość kuszącą wydaje się opcja, by podzielić lewą i prawą stronę równania przez wartość 7x+2. To nie jest zły pomysł, ale trzeba być bardzo świadomym tego co liczymy. W nierównościach najbardziej problematyczny jest znak większości/mniejszości, który musimy odwrócić mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną. Nie możemy więc tak bezrefleksyjnie podzielić obu stron przez 7x+2 i zapisać, że w takim razie x > 1, bo jest to prawda tylko w sytuacji, gdy nasze 7x+2 jest liczbą dodatnią. Kiedy 7x-2 jest liczbą ujemną, to należałoby odwrócić znak.
Jeżeli więc nie potrafimy rozwiązywać nierówności w ten sposób, to najprościej i przede wszystkim najbezpieczniej będzie rozwiązać tę nierówność tak jak każdą inną, czyli doprowadzając ją do postaci ogólnej i licząc deltę.
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy wymnożyć iksa przez wartość w nawiasie oraz przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie zostało nam tylko zero. Zatem:
x(7x+2) > 7x+2 7x²+2x > 7x+2 7x²-5x-2 > 0
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam nierówność kwadratowa, zatem musimy najpierw obliczyć miejsca zerowe, a zrobimy to tradycyjnie przy pomocy delty:
Współczynniki: a=7, b=-5, c=-2
Δ=b²-4ac=(-5)²-4 · 7 · (-2)=25-(-56)=25+56=81 √(Δ)=√(81)=9
x₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-5)-9)/(2 · 7)=(5-9)/14=-4/14=-2/7 x₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-5)+9)/(2 · 7)=(5+9)/14=14/14=1
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik a był dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak >).
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera, a więc interesować nas będzie przedział:
x ∈ (-∞;-2/7) ∪ (1;+∞)
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.