Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek 2x+z=1. Wyznacz takie wartości x i z, dla których wyrażenie x²+z²+7xz przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Krok 1. Uproszczenie wyrażenia z dwoma niewiadomymi do wyrażenia z jedną niewiadomą.

Aby móc rozwiązać to zadanie to musimy dojść do sytuacji w której mamy jedną niewiadomą. W tym celu dobrze byłoby wyznaczyć z wyrażenia 2x+z=1 niewiadomą z i podstawić ją potem do wyrażenia x²+z²+7xz. W związku z tym:

2x+z=1 z=1-2x

Podstawiając tę wartość do naszego wyrażenia otrzymamy:

x²+(1-2x)²+7x · (1-2x)= =x²+1²-4x+4x²+7x-14x²= =-9x²+3x+1

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.

Otrzymaliśmy wyrażenie, do którego pod iksa możemy podstawiać różne liczby, otrzymując w ten sposób jakieś konkretne wyniki. Możemy więc rozpatrzeć tę sytuację jako klasyczny przykład funkcji, a skoro pojawia nam się tutaj niewiadoma x podniesiona do kwadratu, to jest to funkcja kwadratowa.

Naszym zadaniem jest teraz dowiedzieć się dla jakiego argumentu x ta funkcja przyjmie największą wartość, no i musimy podać tę wartość (to jest właśnie istotą tego zadania). Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a skoro współczynnik kierunkowy a jest ujemny, bo a=-9, to ramiona tej paraboli będą skierowane do dołu. To oznacza, że ta nasza funkcja będzie więc wyglądać mniej więcej w ten sposób:

Z tego szkicowego rysunku wynika jasno, że największą wartość ta funkcja przyjmie w swoim wierzchołku. Musimy więc poznać współrzędne tego wierzchołka.

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.

Aby wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli W=(p;q) posłużymy się wzorami:

p=-b/(2a) q=-δ/(4a)

Do obliczenia współrzędnej q potrzebna nam będzie delta, zatem obliczmy ją w tym momencie:

Współczynniki: a=-9, b=3, c=1

Δ=b²-4ac=3²-4 · (-9) · 1=9-(-36)=9+36=45

Znamy więc wartości wszystkich współczynników, znamy też deltę, zatem możemy podstawić te dane do naszych wzorów, otrzymując:

p=-b/(2a) p=-3/(2 · (-9)) p=-3/-18 p=1/6

q=-45/(4 · (-9)) q=-45/-36 q=5/4

Wyszło nam więc, że wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie W=(1/6;5/4). To oznacza, że największą możliwą wartością tej funkcji (a tym samym naszego wyrażenia) jest wartość 5/4.

Znamy też już jedną z niewiadomych wchodzących w skład tego wyrażenia, czyli wiemy że x=1/6. Musimy jeszcze tylko wyznaczyć wartość niewiadomej z.

Krok 4. Obliczenie wartości niewiadomej z.

Korzystając z informacji, że 2x+z=1 oraz wiedząc, że x=1/6 otrzymamy:

2 · 1/6+z=1 1/3+z=1 z=2/3