Jak wyznaczyć zmienną ze wzoru - przekształcanie wzorów

Q: Czy wolno mnożyć na krzyż?

Tak, mnożenie na krzyż w proporcji a/b = c/d daje ad = bc i jest w pełni poprawne, o ile b ≠ 0 i d ≠ 0. To skrót zapisu, a nie osobna reguła: to samo dostaniesz, mnożąc obie strony przez bd.

Żeby wyznaczyć zmienną ze wzoru, odwracasz działania, które ją otaczają, i robisz to od najbardziej zewnętrznego do najbardziej wewnętrznego. Dodawanie odwracasz odejmowaniem, mnożenie dzieleniem, potęgowanie pierwiastkowaniem. Gdy szukana zmienna stoi w mianowniku, najpierw mnożysz obie strony przez ten mianownik. Gdy występuje w dwóch miejscach naraz, przenosisz wszystkie jej wystąpienia na jedną stronę i wyciągasz ją przed nawias. Na koniec zapisujesz założenia: mianownik nie może być zerem, a wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia parzystego nie może być ujemne.

Na maturze rzadko trafisz na polecenie brzmiące wprost „przekształć wzór", ale samo przekształcanie jest w zadaniach wszędzie. Wzór na pole trapezu, na objętość stożka, na $n$ -ty wyraz ciągu, na oprocentowanie lokaty - w każdym z nich zadanie potrafi podać wszystko oprócz jednej litery i kazać znaleźć właśnie tę jedną. Dokładnie tego samego wymagają zadania zamknięte typu „jeśli $a = \frac{b}{c-b}$ , to $b$ jest równe", które regularnie wracają w arkuszach z działu wyrażenia algebraiczne. Poniżej masz metodę, pięć rozwiązanych przykładów od trapezu po wzór soczewkowy i listę błędów, które kosztują punkt mimo dobrego pomysłu.

Na czym polega przekształcanie wzoru

Wzór to równanie z kilkoma literami. Przekształcić wzór znaczy zapisać go w równoważnej postaci, w której po lewej stronie stoi sama szukana litera, a po prawej wszystkie pozostałe. Nic nie znika i nic się nie zmienia - to ten sam wzór, tylko ustawiony pod inne pytanie.

Działa tu ta sama zasada, co przy rozwiązywaniu równań: obie strony wolno dodać, odjąć, pomnożyć i podzielić przez to samo, przy czym dzielić wolno tylko przez wyrażenie różne od zera. Różnica jest jedna, ale istotna: w równaniu liczbowym widzisz, czy dzielisz przez zero, a we wzorze z literami tego nie widzisz i musisz to założyć wprost.

Kolejność działań odwracasz jak przy rozpakowywaniu paczki. Patrzysz, co jest najdalej od szukanej litery, i to zdejmujesz najpierw. Jeśli szukana jest zamknięta w nawiasie pomnożonym przez coś, najpierw dzielisz przez to coś, dopiero potem otwierasz nawias.

Wzory

Poniższe cztery wzory obsługują większość szkolnych przekształceń. Każdy czytaj jako „równoważne przejście", a nie jako osobny wzór do zapamiętania.

Wzór na przeniesienie składnika:

a + b = c \iff a = c - b

Wzór na zdjęcie czynnika:

a \cdot b = c \iff a = \frac{c}{b}, \quad b \neq 0

Wzór na pozbycie się mianownika:

\frac{a}{b} = c \iff a = b \cdot c, \quad b \neq 0

Wzór na wyciągnięcie zmiennej przed nawias:

ax + bx = x(a + b)

Ostatni z nich jest najważniejszy i najczęściej pomijany. To on rozwiązuje wszystkie przypadki, w których szukana litera stoi w dwóch miejscach naraz. Warto go powtórzyć razem ze wzorami skróconego mnożenia, bo w tych samych zadaniach zwykle chodzą w parze.

Metoda w czterech krokach

Krok 1: Zaznacz szukaną literę. Dosłownie ją podkreśl w arkuszu. Połowa błędów bierze się z wyznaczenia niewłaściwej zmiennej.

Krok 2: Pozbądź się ułamków. Jeśli szukana stoi w mianowniku albo wzór ma kilka ułamków, pomnóż obie strony przez wspólny mianownik. Od razu zapisz założenie, że jest on różny od zera.

Krok 3: Zbierz wszystkie wystąpienia szukanej po jednej stronie. Resztę przenieś na drugą. Jeśli szukana zostaje w dwóch składnikach, wyciągnij ją przed nawias.

Krok 4: Zdejmij ostatnie działanie. Podziel przez współczynnik stojący przy szukanej albo spierwiastkuj, jeśli została podniesiona do kwadratu. Zapisz odpowiedź razem z założeniami.

Przykład 1: Wysokość trapezu ze wzoru na pole

0/5

Wyrażenia algebraiczne

Treść: Ze wzoru na pole trapezu $P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$ wyznacz wysokość $h$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Pozbądź się mianownika
Mnożysz obie strony przez $2$ .
$2P = (a + b) \cdot h$
Krok 2
Zdejmij czynnik stojący przy $h$
Dzielisz obie strony przez $a + b$ , co wymaga założenia $a + b \neq 0$ . W trapezie oba boki są dodatnie, więc warunek jest spełniony.
$h = \frac{2P}{a + b}$
Krok 3
Sprawdź na liczbach
Dla $a = 5$ , $b = 3$ , $h = 4$ pole wynosi $\frac{8 \cdot 4}{2} = 16$ . Z przekształconego wzoru $h = \frac{2 \cdot 16}{8} = 4$ . Zgadza się.

Odpowiedź

$h = \frac{2P}{a+b}$ dla $a + b \neq 0$ . Pozostałe wzory tej figury zebraliśmy we wpisie o polu trapezu.

Przykład 2: Promień stożka ze wzoru na objętość

0/5

Wyrażenia algebraiczne

Treść: Ze wzoru na objętość stożka $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ wyznacz promień podstawy $r$ , wiedząc, że $r > 0$ i $h > 0$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Pozbądź się ułamka
Mnożysz obie strony przez $3$ .
$3V = \pi r^2 h$
Krok 2
Zostaw samo $r^2$
Dzielisz przez $\pi h$ , co jest dozwolone, bo $h > 0$ .
$r^2 = \frac{3V}{\pi h}$
Krok 3
Zdejmij kwadrat
Pierwiastkujesz obie strony. Ponieważ $r$ jest długością, bierzesz tylko wartość dodatnią.
$r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}$

Odpowiedź

$r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}$ . Ujemny pierwiastek odrzucasz z powodu geometrycznego, nie algebraicznego, i warto to w rozwiązaniu napisać. Więcej wzorów tej bryły znajdziesz w tekście o objętości i polu powierzchni stożka.

Przykład 3: Zmienna w dwóch miejscach naraz

0/5

Wyrażenia algebraiczne

Treść: Wiadomo, że $a = \frac{b}{c - b}$ , przy czym $c \neq b$ . Wyznacz $b$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Pozbądź się mianownika
Mnożysz obie strony przez $c - b$ .
$a(c - b) = b$
Krok 2
Wymnóż nawias
$ac - ab = b$
Krok 3
Zbierz wyrazy z $b$ po jednej stronie
Przenosisz $-ab$ na prawą stronę.
$ac = b + ab$
Krok 4
Wyciągnij $b$ przed nawias i podziel
$ac = b(1 + a) \quad \Longrightarrow \quad b = \frac{ac}{1 + a}, \quad a \neq -1$

Odpowiedź

$b = \frac{ac}{1+a}$ dla $a \neq -1$ . To najczęstszy schemat w zadaniach zamkniętych z tego typu: bez kroku z wyciąganiem przed nawias zadanie wygląda na nierozwiązywalne.

Przykład 4: Różnica ciągu arytmetycznego

0/5

Wyrażenia algebraiczne

Treść: Ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n = a_1 + (n-1)r$ wyznacz różnicę $r$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Przenieś wyraz wolny
Odejmujesz $a_1$ od obu stron.
$a_n - a_1 = (n - 1)r$
Krok 2
Podziel przez współczynnik
Dzielisz przez $n - 1$ , więc zakładasz $n \neq 1$ . To założenie ma sens: dla $n = 1$ wzór sprowadza się do tożsamości $a_1 = a_1$ i nie niesie żadnej informacji o różnicy.
$r = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$
Krok 3
Sprawdź na liczbach
W ciągu $3, 7, 11, 15$ mamy $a_1 = 3$ , $a_4 = 15$ , więc $r = \frac{15 - 3}{4 - 1} = \frac{12}{3} = 4$ . Zgadza się z ciągiem.

Odpowiedź

$r = \frac{a_n - a_1}{n-1}$ dla $n \neq 1$ . Cały aparat ciągów arytmetycznych rozpisujemy we wpisie o n-tym wyrazie ciągu arytmetycznego.

Przykład 5: Wzór z trzema ułamkami

0/5

Wyrażenia algebraiczne

Treść: Ze wzoru $\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ wyznacz $y$ , zakładając, że $f$ , $x$ i $y$ są różne od zera.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Zostaw szukany ułamek sam
Odejmujesz $\frac{1}{x}$ od obu stron.
$\frac{1}{y} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x}$
Krok 2
Sprowadź prawą stronę do wspólnego mianownika
$\frac{1}{y} = \frac{x - f}{fx}$
Krok 3
Odwróć obie strony
Wolno to zrobić, bo obie są różne od zera, co wymusza założenie $x \neq f$ .
$y = \frac{fx}{x - f}$

Odpowiedź

$y = \frac{fx}{x-f}$ dla $x \neq f$ . Krok z odwróceniem obu stron jest równoważny pomnożeniu na krzyż i to on skraca całe rozwiązanie o połowę. Technikę działań na takich wyrażeniach szerzej omawiamy w tekście o wyrażeniach wymiernych.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Rozpoznać, które działanie otacza szukaną zmienną najbardziej z zewnątrz.
Pomnożyć obie strony przez mianownik i zapisać założenie, że jest różny od zera.
Zebrać wszystkie wystąpienia szukanej po jednej stronie i wyciągnąć ją przed nawias.
Odwrócić obie strony równania, gdy szukana stoi w mianowniku po obu stronach.
Spierwiastkować obie strony i uzasadnić odrzucenie wartości ujemnej.
Sprawdzić przekształcony wzór, podstawiając wygodne liczby do wersji wyjściowej.

Sprawdź się: wyznaczanie zmiennej ze wzoru

Ze wzoru $P = a \cdot b$ wyznacz $b$ .

A $b = P \cdot a$
B $b = \frac{P}{a}$
C $b = P - a$
D $b = \frac{a}{P}$

Wyjaśnienie

Przy

b

stoi czynnik

a

, więc dzielisz obie strony przez

a

, zakładając

a \neq 0

Ze wzoru $S = \frac{a + b}{2}$ wyznacz $a$ .

A $a = \frac{S}{2} - b$
B $a = 2S - b$
C $a = 2S + b$
D $a = \frac{2S}{b}$

Wyjaśnienie

Najpierw mnożysz obie strony przez

2

, co daje

2S = a + b

, a dopiero potem odejmujesz

b

Ze wzoru $v = \frac{s}{t}$ wyznacz $t$ .

A $t = v \cdot s$
B $t = \frac{s}{v}$
C $t = \frac{v}{s}$
D $t = s - v$

Wyjaśnienie

Mnożysz obie strony przez

t

, otrzymujesz

vt = s

, po czym dzielisz przez

v \neq 0

Ze wzoru $y = 3x + 2x \cdot k$ wyznacz $x$ .

A $x = \frac{y}{3} + \frac{y}{2k}$
B $x = \frac{y}{3 + 2k}$
C $x = y - 3 - 2k$
D $x = \frac{3 + 2k}{y}$

Wyjaśnienie

Zmienna

x

stoi w dwóch składnikach, więc wyciągasz ją przed nawias:

y = x(3 + 2k)

, a potem dzielisz przez

3 + 2k \neq 0

Ze wzoru $A = \pi r^2$ wyznacz $r$ , gdy $r > 0$ .

A $r = \frac{A}{\pi}$
B $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
C $r = \frac{\sqrt{A}}{2\pi}$
D $r = \frac{A^2}{\pi}$

Wyjaśnienie

Najpierw dzielisz przez

\pi

, potem pierwiastkujesz. Kwadratu nie zdejmuje się dzieleniem przez dwa.

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z arkuszy CKE, w których trzeba przekształcić wyrażenie albo wyznaczyć jedną literę z zależności między kilkoma. Rozwiąż je z kartką, zapisując założenia przy każdym dzieleniu.

Więcej zadań z działu Wyrażenia algebraiczne

Następny krok Losuj kolejne zadanie z wyrażeń algebraicznych

Najczęstsze pytania

Czy przekształcanie wzorów jest osobnym tematem na maturze?

Nie ma osobnego zadania o takiej nazwie, ale sama umiejętność jest wpisana w bardzo wiele poleceń. Pojawia się w zadaniach zamkniętych typu „jeśli $a = \dots$ , to $b$ jest równe", w zadaniach z ciągami, w geometrii, gdy z wzoru na objętość trzeba wyznaczyć krawędź, i w zadaniach z treścią, gdzie budujesz wzór, a potem wyliczasz z niego jedną wielkość.

Kiedy trzeba zapisać założenia, a kiedy nie?

Zawsze wtedy, gdy dzielisz przez wyrażenie zawierające literę albo mnożysz obie strony przez mianownik. Jeśli z kontekstu wynika, że wyrażenie jest dodatnie, na przykład jest długością boku, wystarczy jedno zdanie, że wynika to z warunków zadania. Bez tego zdania rozwiązanie jest niepełne, choć rachunki są dobre.

Co zrobić, gdy szukana zmienna występuje w dwóch miejscach?

Zbierz oba wystąpienia po jednej stronie równania, a resztę przenieś na drugą, po czym wyciągnij szukaną przed nawias. Zostanie iloczyn szukanej i nawiasu, więc na końcu dzielisz przez ten nawias, zakładając, że nie jest zerem. Ten jeden schemat obsługuje niemal wszystkie trudniejsze wersje tego typu zadań.

Czy wolno mnożyć na krzyż?

Tak, mnożenie na krzyż w proporcji $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ daje $ad = bc$ i jest w pełni poprawne, o ile $b \neq 0$ i $d \neq 0$ . To skrót zapisu, a nie osobna reguła: to samo dostaniesz, mnożąc obie strony przez $bd$ .

Jak sprawdzić poprawność przekształcenia bez odpowiedzi z klucza?

Podstaw liczby. Wybierz proste wartości dla wszystkich liter poza szukaną, policz szukaną ze wzoru wyjściowego, a potem z własnego przekształcenia. Jeśli wyniki są równe, przekształcenie jest poprawne dla tych wartości, co w praktyce wystarcza jako kontrola. Testuj przy tym liczby, które nie upraszczają wzoru zbyt mocno: jedynki i zera potrafią ukryć błąd.

Czy da się wyznaczyć zmienną z każdego wzoru?

Nie z każdego. Jeśli szukana występuje jednocześnie w potędze i poza nią, na przykład w postaci $x + 2^x = 5$ , to nie da się jej wyznaczyć elementarnymi przekształceniami. W szkolnym zakresie takie wzory nie występują, ale warto wiedzieć, że sama możliwość rozplątania wzoru nie jest oczywista.

Jak wyznaczyć zmienną ze wzoru - przekształcanie wzorów krok po kroku

Na czym polega przekształcanie wzoru

Wzory

Metoda w czterech krokach

Przykład 1: Wysokość trapezu ze wzoru na pole

Przykład 2: Promień stożka ze wzoru na objętość

Przykład 3: Zmienna w dwóch miejscach naraz

Przykład 4: Różnica ciągu arytmetycznego

Przykład 5: Wzór z trzema ułamkami

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Najczęstsze pytania

Czy przekształcanie wzorów jest osobnym tematem na maturze?

Kiedy trzeba zapisać założenia, a kiedy nie?

Co zrobić, gdy szukana zmienna występuje w dwóch miejscach?

Czy wolno mnożyć na krzyż?

Jak sprawdzić poprawność przekształcenia bez odpowiedzi z klucza?

Czy da się wyznaczyć zmienną z każdego wzoru?

Kategoria: Wyrażenia algebraiczne

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Wyrażenia wymierne na maturze - dziedzina, skracanie i działania

Zadania CKE z wyrażeń algebraicznych z rozwiązaniami - baza wg działu

Usuwanie niewymierności z mianownika - jak upraszczać wyrażenia z pierwiastkami krok po kroku