Dane jest wyrażenie W(x)=1/2((x+1)/(x-1)-(x-1)/(x+1)) Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Wartość wyrażenia W(x) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 1. P F Wyrażenie W(x) można przekształcić równoważnie do wyrażenia 2x/(x²-1). P F
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: FP
# Rozwiązanie
## Zdanie 1: Wartość wyrażenia W(x) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 1
Analizuje się dziedzinę wyrażenia W(x) = 1/2((x+1)/(x-1) - (x-1)/(x+1))
Wyrażenie zawiera dwa ułamki: - (x+1)/(x-1) – mianownik x-1 ≠ 0, czyli x ≠ 1 - (x-1)/(x+1) – mianownik x+1 ≠ 0, czyli x ≠ -1
Dziedzina: x ∈ R ∖ {-1, 1}
Wyrażenie nie jest określone dla x = -1, a zdanie mówi tylko o wykluczeniu x = 1.
Zdanie 1: FAŁSZ (F)
## Zdanie 2: Wyrażenie W(x) można przekształcić równoważnie do 2x/(x²-1)
Przekształca się wyrażenie W(x):
W(x) = 1/2((x+1)/(x-1) - (x-1)/(x+1))
Sprowadza się do wspólnego mianownika (x-1)(x+1):
W(x) = 1/2 · ((x+1)² - (x-1)²)/(x-1)(x+1)
Rozwija się licznik używając wzoru a² - b² = (a-b)(a+b):
(x+1)² - (x-1)² = [(x+1) - (x-1)][(x+1) + (x-1)]
= [x+1-x+1][x+1+x-1] = 2 · 2x = 4x
Podstawia się:
W(x) = 1/2 · 4x/(x-1)(x+1) = 4x/2(x-1)(x+1) = 2x/(x-1)(x+1)
Ponieważ (x-1)(x+1) = x² - 1:
W(x) = 2x/(x²-1)
Przekształcenie jest poprawne (obie postaci mają tę samą dziedzinę).
Zdanie 2: PRAWDA (P)
---
Odpowiedź: FP
Wyrażenia algebraiczne: Przekształcanie wyrażeń, wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki i wyrażenia wymierne wraz z dziedziną.