Dane są okrąg o środku S oraz prosta k styczna do okręgu w punkcie A. Odcinek AB jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą k a cięciwą AB jest równa 50°. Punkt C leży na okręgu. Kąt ∢BCA jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej. Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ∢BCA jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.100°
- B.80°
- C.50°
- D.40°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Oznaczymy kąt między styczną k a cięciwą AB jako α= 50°.
Krok 1: Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą
Kąt między styczną do okręgu a cięciwą wychodzącą z punktu styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie (ale od drugiej strony).
Dokładniej: jeśli k jest styczna w punkcie A, a AB jest cięciwą, to kąt między k a AB wynoszący 50° jest równy kątowi wpisanemu w okrąg opartemu na cięciwie AB.
Krok 2: Związek z kątem wpisanym
Zgodnie z twierdzeniem o kącie między styczną a cięciwą: kąt między styczną k a cięciwą AB = kąt wpisany opary na AB
Kąt ∢BCA jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na cięciwie AB.
Krok 3: Zastosowanie twierdzenia
Z twierdzenia wynika, że: ∢BCA = 50°
Krok 4: Sprawdzenie warunku ostrości
Zadanie mówi, że kąt ∢BCA jest ostry. Wartość 50° rzeczywiście spełnia ten warunek (0° < 50° < 90°).
Uwaga: Gdyby punkt C leżał po drugiej stronie cięciwy AB, otrzymalibyśmy kąt rozwarty 180° - 50° = 130°, ale zadanie wyraźnie stwierdza, że kąt jest ostry.
Odpowiedź: C
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.