Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dane są okrąg O o środku w punkcie S = (3, -4) i prosta k o równaniu 2x - y - 11 = 0. Okrąg O jest styczny do prostej k w punkcie P. Wyznacz i zapisz równanie okręgu O.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: (x-3)²+(y+4)²=1/5
## Wyznaczenie promienia okręgu
Okrąg O jest styczny do prostej k, więc promień r jest równy odległości środka S = (3, -4) od prostej k: 2x - y - 11 = 0.
Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej: r = (|ax₀ + by₀ + c|)/(√(a² + b²))
Podstawiamy a = 2, b = -1, c = -11, x₀ = 3, y₀ = -4:
r = (|2 · 3 + (-1) · (-4) + (-11)|)/(√(2² + (-1)²)) = (|6 + 4 - 11|)/(√(4 + 1)) = (|-1|)/√(5) = 1/√(5)
## Równanie okręgu
Środek: S = (3, -4), promień: r = 1/√(5), więc r² = 1/5.
Równanie okręgu: (x - 3)² + (y + 4)² = 1/5
Odpowiedź: (x-3)²+(y+4)²=1/5
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.