Równoległobok w układzie współrzędnych na maturze - środek symetrii, czwarty wierzchołek i pole

Czwarty wierzchołek równoległoboku $ABCD$ liczysz z warunku $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, który po rozpisaniu na współrzędne daje $D = A + C - B$: dodajesz współrzędne dwóch sąsiadów szukanego wierzchołka i odejmujesz współrzędne wierzchołka przeciwległego. Jeśli zamiast trzeciego wierzchołka znasz punkt przecięcia przekątnych $S$, korzystasz z tego, że przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc $S$ jest środkiem symetrii figury i $C = 2S - A$. Pole liczysz jako iloczyn podstawy i wysokości (odległość wierzchołka od prostej zawierającej przeciwległy bok) albo jako podwojone pole trójkąta zbudowanego na trzech wierzchołkach.

Ten typ zadania wraca w arkuszach formuły 2023, za każdym razem w innym przebraniu. W maju 2024 zadanie 28 za 2 punkty kazało policzyć bok równoległoboku, gdy dane były dwa wierzchołki i punkt przecięcia przekątnych. W sierpniu 2024 zadanie 27 za 4 punkty dawało tylko ten punkt i równania dwóch prostych zawierających boki, a zbiór zadań CKE 2025 ma bliźniacze zadanie 61 z innymi liczbami. W sierpniu 2023 zadanie 31 nazwało ten sam punkt „środkiem symetrii równoległoboku", a w maju 2025 zadanie 29 zrobiło to samo z kwadratem. Za każdym razem chodzi o dwa fakty: równość wektorów na przeciwległych bokach i przekątne dzielące się na połowy. Niżej masz oba fakty z wyprowadzeniem, wzory do zapamiętania i sześć zadań z arkuszy rozwiązanych krok po kroku.

Jak wyznaczyć czwarty wierzchołek równoległoboku z trzech danych

Czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem wtedy, gdy boki $AB$ i $DC$ są równoległe i mają tę samą długość, czyli gdy $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Z tej równości wektorów dostajesz czwarty wierzchołek jednym rachunkiem: $D = A + C - B$, współrzędna po współrzędnej. Sąsiedzi szukanego wierzchołka wchodzą z plusem, wierzchołek przeciwległy z minusem.

Wyprowadzenie zajmuje trzy linijki. Współrzędne wektora to różnica współrzędnych końca i początku (szczegóły w przeglądzie układu współrzędnych):

$\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A], \qquad \overrightarrow{DC} = [x_C - x_D,\ y_C - y_D]$

Przyrównujesz pierwsze współrzędne do siebie i drugie do siebie:

$x_B - x_A = x_C - x_D \quad \Rightarrow \quad x_D = x_A + x_C - x_B$ $y_B - y_A = y_C - y_D \quad \Rightarrow \quad y_D = y_A + y_C - y_B$

Ten sam schemat działa dla każdego wierzchołka: $B = A + C - D$, $A = B + D - C$. Zawsze suma sąsiadów minus wierzchołek naprzeciwko.

Środek symetrii równoległoboku: przekątne dzielą się na połowy

Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie $S$, który jest środkiem każdej z nich, więc $S$ to zarazem środek odcinka $AC$, środek odcinka $BD$ i środek symetrii całej figury. Stąd dwa wzory: $S = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)$ oraz, w drugą stronę, $C = 2S - A$, czyli $C = (2x_S - x_A,\ 2y_S - y_A)$.

Drugi wzór to po prostu wzór na środek odcinka rozwiązany względem drugiego końca: skoro $x_S = \frac{x_A + x_C}{2}$, to $2x_S = x_A + x_C$ i $x_C = 2x_S - x_A$. Jeśli wolisz myśleć obrazowo: $C$ jest obrazem $A$ w symetrii środkowej względem $S$, a taki punkt symetryczny liczysz dokładnie tym wzorem. Sam wzór na środek odcinka z wyprowadzeniem masz w osobnym wpisie.

CKE nazywa ten punkt na trzy sposoby: „przekątne przecinają się w punkcie $P$" (maj 2024), „przekątne przecinają się w punkcie $S$" (sierpień 2024) albo „punkt $S$ jest środkiem symetrii równoległoboku" (sierpień 2023). To ten sam punkt i ten sam wzór. Dostajesz też za darmo długości przekątnych: $|AC| = 2|AS|$ i $|BD| = 2|BS|$, więc gdy zadanie pyta o przekątną, wystarczy odległość jednego wierzchołka od $S$ i podwojenie.

Kiedy którego wzoru użyć:

• •Masz trzy wierzchołki, szukasz czwartego: $D = A + C - B$. Możesz też policzyć $S$ jako środek $AC$ i wziąć $D = 2S - B$, wynik jest ten sam.
• •Masz jeden wierzchołek i $S$: wierzchołek naprzeciwko to $2S - A$. Sąsiednich wierzchołków z tych danych nie wyznaczysz, potrzebujesz jeszcze jednej informacji (drugiego wierzchołka albo prostej zawierającej bok).
• •Masz $S$ i proste zawierające dwa boki wychodzące z $A$: najpierw $A$ jako przecięcie prostych, potem $C = 2S - A$, a $B$ jako przecięcie prostej $AB$ z prostą równoległą do $AD$ przechodzącą przez $C$ (tak działa przykład 4).

Pole równoległoboku w układzie współrzędnych

Pole równoległoboku to podstawa razy wysokość, $P = a \cdot h$, gdzie $h$ jest odległością wierzchołka od prostej zawierającej przeciwległy bok. W układzie współrzędnych najszybciej liczysz je jednak jako podwojone pole trójkąta $ABC$ ze wzoru z tablic na pole trójkąta o danych wierzchołkach, bo przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty.

Dwa trójkąty. $P_{ABCD} = 2 P_{ABC}$, a pole trójkąta z trzech wierzchołków masz w tablicach:

$P_{ABC} = \frac{1}{2}\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\right|$

Więcej wariantów tego wzoru znajdziesz we wpisie o polu trójkąta.

Podstawa i wysokość. Liczysz $|AB|$ ze wzoru na odległość dwóch punktów, wyznaczasz równanie prostej $AB$ i bierzesz odległość punktu $C$ od tej prostej. Dłużej, ale każdy krok jest w tablicach i ta droga działa też wtedy, gdy zadanie każe wyznaczyć wysokość, nie samo pole.

Przekątne, gdy figura jest rombem albo kwadratem. Wtedy $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$, a w kwadracie $P = \frac{d^2}{2}$. Wzory na pole rombu i równoległoboku z planimetrii zebrane są w osobnym wpisie, tu chodzi tylko o to, jak dostać długości przekątnych ze współrzędnych: przekątna to odległość dwóch przeciwległych wierzchołków albo podwojona odległość wierzchołka od $S$.

Prostokąt, romb czy kwadrat? Prostokąt ma kąt prosty, więc sąsiednie boki są prostopadłe: współczynniki kierunkowe prostych $AB$ i $BC$ spełniają $a_1 \cdot a_2 = -1$ (warunki prostopadłości i równoległości prostych) albo, bez równań prostych, $|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$ z twierdzenia Pitagorasa. Na rozszerzeniu to samo załatwia iloczyn skalarny równy zero. Romb ma wszystkie boki równe, więc wystarczy $|AB| = |BC|$; równoważnie jego przekątne są prostopadłe. Kwadrat musi spełniać oba warunki naraz: równoległobok o równych przekątnych to prostokąt, o prostopadłych przekątnych to romb, a dopiero równe i prostopadłe przekątne dają kwadrat.

Kalkulator pod spodem liczy pole z podstawy i wysokości. Jeśli długości wyszły z pierwiastkiem, wpisz przybliżenia dziesiętne: dla przykładu 5 to $4\sqrt{2} \approx 5{,}66$ i $3\sqrt{2} \approx 4{,}24$, a wynik powinien wyjść blisko $24$.

Kwadrat i prostokąt w układzie współrzędnych: ten sam punkt S

W kwadracie i prostokącie punkt przecięcia przekątnych też dzieli je na połowy, więc wzory $S = \frac{A + C}{2}$ i $C = 2S - A$ działają bez zmian. Dochodzą dwie własności, których zwykły równoległobok nie ma: przekątne są równe, a w kwadracie dodatkowo prostopadłe. Z jednego wierzchołka $A$ i punktu $S$ dostajesz więc od razu całą przekątną $d = 2|AS|$, a z niej bok kwadratu $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$, pole $P = \frac{d^2}{2}$ i promień okręgu opisanego $R = \frac{d}{2} = |AS|$.

Tak zbudowane były zadania o kwadracie z maja 2025 (zadanie 29: przekątna z wierzchołka i punktu przecięcia przekątnych) i z maja 2021 (zadanie 25: pole z tych samych danych). Oba czekają w sekcji „Poćwicz" niżej. Gdy zamiast $S$ dostajesz dwa przeciwległe wierzchołki $A$ i $C$, przekątna to po prostu $|AC|$, a bok i pole liczysz tak samo. Gdy dane są dwa sąsiednie wierzchołki, $|AB|$ jest bokiem, a przekątną liczysz jako $a\sqrt{2}$. Uważaj tylko na słowo w treści: „przeciwległe wierzchołki" to końce przekątnej, „sąsiednie wierzchołki" to końce boku, a pomylenie jednego z drugim daje pole dwa razy za duże albo za małe.

Wzory

W ostatnim wzorze $A$, $B$, $C$ to współczynniki prostej $Ax + By + C = 0$, a $(x_0, y_0)$ to punkt, którego odległość liczysz. Prostą w postaci kierunkowej $y = ax + b$ przepisujesz jako $ax - y + b = 0$.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z arkuszy o kwadratach i równoległobokach w układzie współrzędnych: przekątna kwadratu ze środka, pole kwadratu z przeciwległych wierzchołków, punkt przecięcia przekątnych ze współrzędnymi z pierwiastkami i bliźniak przykładu 4 ze zbioru zadań CKE 2025. Każde otwiera się na własnej stronie z rozwiązaniem krok po kroku. Więcej zadań tego działu znajdziesz na stronie Geometria analityczna, a własności przekątnych kwadratu bez współrzędnych we wpisie o przekątnej kwadratu i prostokąta.

• Matura maj 2025Zadanie 291 pkt
  Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest kwadrat $ABCD$, w którym $A=(4,-1)$. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie $S=(1,3)$. Przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość
• CKE 2025 PPZadanie 614 pkt
  W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przekątne równoległoboku $A B C D$ przecinają się w punkcie $S=\left(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\right)$. Bok $A B$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y=x-2$, a bok $A D$ zawiera się w prostej o równaniu $y=3 x-6$. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$.
• Matura maj 2021Zadanie 251 pkt
  Punkt $A = (3, −5)$ jest wierzchołkiem kwadratu $ABCD$, a punkt $M = (1,3$) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu $ABCD$ jest równe
• Matura czerwiec 2023Zadanie 311 pkt
  W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (-1, 5)$ oraz $C = (3, -3)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole kwadratu $ABCD$ jest równe
• Matura próbna CKE grudzień 2024Zadanie 261 pkt
  W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A=(-2,-1)$ oraz $C=(3,4)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość boku kwadratu $ABCD$ jest równa
• Matura próbna grudzień 2014Zadanie 141 pkt
  Punkty $A=(-6-2\sqrt{2},\ 4-2\sqrt{2})$, $B=(2+4\sqrt{2},\ -6\sqrt{2})$, $C=(2+6\sqrt{2},\ 6-2\sqrt{2})$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie

Następny krok Losuj kolejne zadanie z geometrii analitycznej

Najczęstsze pytania o równoległobok w układzie współrzędnych