Symetralna odcinka - równanie, wzór i zadania maturalne krok po kroku

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka, przechodząca przez jego środek. Każdy punkt symetralnej leży w tej samej odległości od obu końców odcinka, dlatego jej równanie wyznaczysz na dwa sposoby: przez środek i warunek prostopadłości albo z równania $|PA| = |PB|$. Na maturze z matematyki symetralna pojawia się w geometrii analitycznej, najczęściej w zadaniach łączących równanie prostej, odległość punktów i okrąg.

Co to jest symetralna odcinka - definicja i najważniejsza własność

Symetralna odcinka $AB$ to prosta, która jest prostopadła do $AB$ i przechodzi przez jego środek. Z definicji wynika kluczowa własność: punkt $P$ leży na symetralnej odcinka $AB$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|PA| = |PB|$, czyli gdy jest równoodległy od końców odcinka.

Ta własność działa w obie strony:

• •jeśli punkt leży na symetralnej, to ma równe odległości od $A$ i $B$,
• •jeśli punkt ma równe odległości od $A$ i $B$, to musi leżeć na symetralnej.

W praktyce maturalnej częściej korzystasz z drugiej wersji: gdy w zadaniu pada hasło „punkt równoodległy od dwóch punktów", od razu myśl: symetralna.

Warto też wiedzieć, że symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt to środek okręgu opisanego na trójkącie, bo jest równoodległy od wszystkich trzech wierzchołków.

Jak wyznaczyć równanie symetralnej odcinka - metoda 1 (środek i prostopadłość)

Równanie symetralnej odcinka $AB$ wyznaczysz w trzech krokach: obliczasz środek odcinka, potem współczynnik kierunkowy prostej $AB$ i zamieniasz go na odwrotność z przeciwnym znakiem, a na końcu podstawiasz środek do równania prostej. Cała metoda opiera się na dwóch wzorach, które masz w tablicach CKE.

Krok 1: oblicz środek odcinka. Dla $A = (x_A, y_A)$ i $B = (x_B, y_B)$ środek odcinka ma współrzędne:

$S = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)$

Krok 2: wyznacz współczynnik kierunkowy symetralnej. Najpierw współczynnik kierunkowy prostej $AB$:

$a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Symetralna jest prostopadła do $AB$, więc z warunku prostopadłości prostych jej współczynnik kierunkowy to odwrotność z przeciwnym znakiem:

$a_s = -\frac{1}{a_{AB}}$

Krok 3: podstaw środek do równania prostej. Szukasz prostej $y = a_s x + b$, która przechodzi przez $S$. Podstawiasz współrzędne środka i obliczasz wyraz wolny $b$.

Metoda 2: równanie |PA| = |PB| (bez współczynnika kierunkowego)

Drugi sposób nie wymaga liczenia współczynnika kierunkowego. Bierzesz dowolny punkt $P = (x, y)$ symetralnej i zapisujesz, że jego odległości od punktów $A$ i $B$ są równe. Podnosisz obie strony do kwadratu i upraszczasz. Kwadraty $x^2$ i $y^2$ zawsze się skrócą i zostanie równanie prostej.

$(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2$

Ta metoda jest szczególnie wygodna, gdy współrzędne końców odcinka są brzydkie albo gdy odcinek jest pionowy, bo wtedy współczynnik kierunkowy prostej $AB$ w ogóle nie istnieje.

Symetralna odcinka a środek okręgu

Środek okręgu przechodzącego przez dwa punkty $A$ i $B$ zawsze leży na symetralnej odcinka $AB$, bo jest równoodległy od $A$ i $B$. To najczęstszy maturalny kontekst symetralnej: zadanie prosi o równanie okręgu, którego środek spełnia dodatkowy warunek.

Zadanie: okrąg przechodzi przez punkty $A = (1, 3)$ i $B = (5, 7)$, a jego środek leży na osi $OX$. Wyznacz równanie tego okręgu.

Krok 1: środek okręgu leży na symetralnej odcinka AB. Z przykładu 1 wiemy, że symetralna ma równanie $y = -x + 8$.

Krok 2: przecięcie symetralnej z osią OX. Na osi $OX$ mamy $y = 0$, więc $0 = -x + 8$, czyli $x = 8$. Środek okręgu to $O = (8, 0)$.

Krok 3: promień i równanie okręgu. Kwadrat promienia to kwadrat odległości środka od punktu $A$:

$r^2 = |OA|^2 = (8 - 1)^2 + (0 - 3)^2 = 49 + 9 = 58$

Równanie okręgu: $(x - 8)^2 + y^2 = 58$. Kontrola: $|OB|^2 = (8 - 5)^2 + (0 - 7)^2 = 9 + 49 = 58$. Obie odległości są równe, więc okrąg faktycznie przechodzi przez oba punkty.

Typowe pułapki przy symetralnej odcinka

• •Mylisz symetralną z prostą AB. Prosta przechodząca przez $A$ i $B$ to zupełnie inna prosta. Symetralna jest do niej prostopadła i zwykle nie przechodzi przez żaden z końców odcinka.
• •Zapominasz o minusie albo o odwrotności. Warunek prostopadłości to $a_1 \cdot a_2 = -1$, czyli $a_s = -\frac{1}{a_{AB}}$. Sam minus ($-a_{AB}$) albo sama odwrotność ($\frac{1}{a_{AB}}$) to najczęstsze błędy.
• •Dzielisz przez zero przy odcinku pionowym. Gdy $x_A = x_B$, współczynnik kierunkowy nie istnieje. Symetralna jest wtedy prostą poziomą $y = y_S$.
• •Gubisz znaki przy podnoszeniu do kwadratu. W metodzie $|PA| = |PB|$ wyrażenie $(y + 1)^2$ to $y^2 + 2y + 1$, a nie $y^2 - 2y + 1$. Rozpisuj wzory skróconego mnożenia powoli.
• •Mylisz symetralną ze środkową trójkąta. Środkowa przechodzi przez wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Symetralna boku nie musi przechodzić przez żaden wierzchołek.

Najczęstsze pytania

Checklista: co musisz umieć z symetralnej odcinka

Symetralna odcinka to temat, w którym geometria analityczna łączy kilka podstawowych umiejętności w jedno zadanie. To zresztą najliczniejsza kategoria w naszej bazie zadań CKE: 283 zadania z pełnymi rozwiązaniami znajdziesz w dziale geometria analityczna. Jeśli chcesz powtórzyć cały dział, zacznij od przewodnika po geometrii analitycznej, a wzór na odległość punktu od prostej miej zawsze pod ręką, bo często występuje w tych samych zadaniach.

Następny krok Losuj kolejne zadanie