Punkty A i B, których pierwsze współrzędne są równe odpowiednio −2 i 2, należą do wykresu funkcji f(x)=-8/x+3. Oblicz współrzędne punktu C, wiedząc, że punkt B jest środkiem odcinka AC.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C=(6,-9)
Wyznacza się współrzędne punktów A i B, a następnie wykorzystuje wzór na środek odcinka.
## Krok 1: Znajdowanie współrzędnych punktu A
Punkt A ma pierwszą współrzędną równą -2, więc A = (-2, y_A).
Ponieważ A należy do wykresu funkcji f(x) = -8/x + 3:
y_A = f(-2) = -8/-2 + 3 = 4 + 3 = 7
Zatem A = (-2, 7).
## Krok 2: Znajdowanie współrzędnych punktu B
Punkt B ma pierwszą współrzędną równą 2, więc B = (2, y_B).
Ponieważ B należy do wykresu funkcji f(x) = -8/x + 3:
y_B = f(2) = -8/2 + 3 = -4 + 3 = -1
Zatem B = (2, -1).
## Krok 3: Wykorzystanie warunku środka odcinka
Punkt B jest środkiem odcinka AC, gdzie C = (x_C, y_C).
Ze wzoru na środek odcinka:
B = ((x_A + x_C)/2, (y_A + y_C)/2)
Podstawiając znane wartości:
(2, -1) = ((-2 + x_C)/2, (7 + y_C)/2)
## Krok 4: Obliczanie x_C
Z równości pierwszych współrzędnych:
2 = (-2 + x_C)/2
Mnoży się obie strony przez 2:
4 = -2 + x_C
x_C = 6
## Krok 5: Obliczanie y_C
Z równości drugich współrzędnych:
-1 = (7 + y_C)/2
Mnoży się obie strony przez 2:
-2 = 7 + y_C
y_C = -9
## Odpowiedź
Współrzędne punktu C to C = (6, -9).
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.