Odległość punktu od prostej - wzór, wyprowadzenie i zadania maturalne

Odległość punktu od prostej to jeden z tych wzorów, których nie ma w tablicach CKE. Musisz go znać na pamięć. Pojawia się w zadaniach z geometrii analitycznej - zarówno jako samodzielne obliczenie, jak i jako krok w zadaniach o okręgach stycznych do prostych.

Na stronie Geometria analityczna - zadania maturalne znajdziesz pełną bazę zadań z tej kategorii. Warto też przeczytać artykuł geometria analityczna na maturze - proste, okręgi, wektory.

Wzór na odległość punktu od prostej

Wzór na odległość punktu $P = (x_0, y_0)$ od prostej o równaniu ogólnym $Ax + By + C = 0$:

$$d(P, l) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Zapamiętaj ten wzór. Tablice CKE go nie zawierają.

Jak zamieniać równanie prostej na postać ogólną

Wzór wymaga równania prostej w postaci $Ax + By + C = 0$. Jeśli masz postać kierunkową $y = ax + b$, zamieniasz tak:

$$y = ax + b \implies ax - y + b = 0$$

Czyli: $A = a$, $B = -1$, $C = b$.

Przykłady zamiany:

Warto też przejrzeć równanie prostej - postać kierunkowa i ogólna dla przypomnienia.

Przykłady krok po kroku

Przykład 1. Oblicz odległość punktu $P = (3, 1)$ od prostej $y = 2x - 5$.

Zamieniam prostą na postać ogólną: $2x - y - 5 = 0$.

A=2, B=-1, C=-5.

$$d = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + (-5)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 1 - 5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|0|}{\sqrt{5}} = 0$$

Odległość wynosi 0 - punkt $P$ leży NA prostej. Możesz sprawdzić: $1 = 2 \cdot 3 - 5 = 1$. Tak, $P$ spełnia równanie prostej.

Przykład 2. Oblicz odległość punktu $A = (1, -2)$ od prostej $3x + 4y - 12 = 0$.

A=3, B=4, C=-12.

$$d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 - 8 - 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-17|}{\sqrt{25}} = \frac{17}{5}$$

Odległość wynosi $\frac{17}{5} = 3{,}4$.

Przykład 3. Oblicz odległość punktu $S = (2, 3)$ od prostej $y = -x + 1$.

Zamieniam: $-x - y + 1 = 0$, czyli $x + y - 1 = 0$.

A=1, B=1, C=-1.

$$d = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 3 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Odległość wynosi $2\sqrt{2}$.

Zastosowanie 1: okrąg styczny do prostej

Klasyczne zadanie maturalne: "Okrąg o środku S jest styczny do prostej l. Oblicz promień" albo "Wyznacz środek okręgu".

Kluczowy fakt: jeśli okrąg jest styczny do prostej, to odległość środka od prostej jest równa promieniowi:

$$d(\text{środek}, l) = r$$

Przykład 4. Okrąg ma środek $S = (2, -1)$ i jest styczny do prostej $3x - 4y + 5 = 0$. Oblicz promień.

$$r = d(S, l) = \frac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot (-1) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 4 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$

Promień okręgu wynosi 3.

Więcej o okręgach w artykule równanie okręgu - wzór i zadania. Powiązany temat to wyznaczanie równania stycznej do okręgu.

Przykład 5. Okrąg o promieniu $r = 5$ jest styczny do prostej $4x + 3y - 8 = 0$. Środek okręgu leży na osi OX. Wyznacz środek okręgu.

Niech $S = (a, 0)$ (leży na osi OX).

Warunek styczności: $d(S, l) = 5$.

$$\frac{|4a + 3 \cdot 0 - 8|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 5$$
$$\frac{|4a - 8|}{\sqrt{16 + 9}} = 5$$
$$\frac{|4a - 8|}{5} = 5$$
$$|4a - 8| = 25$$

Stąd dwa przypadki:

Odpowiedź: środek okręgu to $\left(\frac{33}{4}, 0\right)$ lub $\left(-\frac{17}{4}, 0\right)$.

Zastosowanie 2: odległość między prostymi równoległymi

Gdy masz dwie proste równoległe $Ax + By + C_1 = 0$ i $Ax + By + C_2 = 0$ (te same A i B), odległość między nimi to:

$$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Przykład 6. Oblicz odległość między prostymi $l_1: 3x - 4y + 6 = 0$ i $l_2: 3x - 4y - 9 = 0$.

Sprawdzam: te same A=3, B=-4, więc proste są równoległe.

$$d = \frac{|6 - (-9)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 9|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$

Odległość między prostymi wynosi 3.

Możesz też wziąć dowolny punkt z $l_1$ i obliczyć jego odległość od $l_2$ - wynik będzie ten sam.

Zastosowanie 3: punkt symetrycznie odbity względem prostej

To zadanie pojawia się rzadziej, ale warto znać schemat. Żeby znaleźć odbicie punktu P względem prostej l:

1. Wyznacz prostą prostopadłą do l przechodzącą przez P.
2. Oblicz punkt Q - przecięcie prostych l i prostej prostopadłej.
3. Punkt Q jest środkiem odcinka PP' (P' to szukane odbicie).
4. Stąd: $P' = 2Q - P$.

Więcej o prostych prostopadłych i równoległych w artykule proste równoległe i prostopadłe - warunki i wzory.

Konkretne zadania z tej kategorii: zadanie cke-2015-2023-pp-111, zadanie cke-2015-2023-pp-83, zadanie cke-2015-2023-pp-86.

Typowe pułapki

Pułapka 1: zapomniany mianownik

Wzór wymaga $\sqrt{A^2 + B^2}$ w mianowniku. Niektórzy obliczają tylko licznik i uważają to za odpowiedź. Błąd kosztuje punkt.

Pułapka 2: zły znak przy C

Gdy zamieniasz $y = 2x - 5$ na postać ogólną, dostajesz $2x - y - 5 = 0$. Tutaj $C = -5$. Nie $C = 5$. Zwróć uwagę na znaki.

Pułapka 3: brak wartości bezwzględnej

Wynik odległości jest zawsze nieujemny. Wartość bezwzględna w liczniku to gwarancja. Nie wolno jej pominąć.

Pułapka 4: prosta w złej postaci

Wzór działa dla $Ax + By + C = 0$. Jeśli masz $Ax + By = D$, przepisz jako $Ax + By - D = 0$, czyli $C = -D$. Łatwo o pomyłkę ze znakiem.

Checklist - co musisz umieć