Odległość punktu od prostej - wzór, wyprowadzenie i zadania maturalne krok po kroku

Wzór na odległość punktu od prostej to jeden z najczęściej używanych wzorów na maturze z geometrii analitycznej. Pojawia się w zadaniach zamkniętych, otwartych, a nawet w stereometrii (odległość punktu od krawędzi). Opanuj go solidnie, bo CKE kocha pytać o odległości.

Wzór na odległość punktu od prostej

Jeśli prosta ma równanie w postaci ogólnej $Ax + By + C = 0$, a punkt ma współrzędne $P = (x_0, y_0)$, to odległość punktu od prostej wynosi:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Co musisz pamiętać:

• •W liczniku jest wartość bezwzględna - odległość jest zawsze nieujemna
• •Prosta musi być w postaci ogólnej $Ax + By + C = 0$
• •Jeśli prosta jest w postaci kierunkowej, musisz ją najpierw zamienić

Ten wzór jest na karcie wzorów CKE, ale warto go znać na pamięć.

Jak stosować wzór - krok po kroku

1. 1.Zapisz równanie prostej w postaci ogólnej $Ax + By + C = 0$
2. 2.Odczytaj współczynniki $A$, $B$, $C$
3. 3.Podstaw współrzędne punktu $(x_0, y_0)$ do wzoru
4. 4.Policz wartość bezwzględną w liczniku
5. 5.Policz pierwiastek w mianowniku
6. 6.Podziel i uprość

Zamiana na postać ogólną w trzech typowych sytuacjach:

• •Postać kierunkowa $y = ax + b$ daje $ax - y + b = 0$, czyli $A = a$, $B = -1$, $C = b$. Przykład: $y = -2x + 1$ to $2x + y - 1 = 0$.
• •Prosta pozioma $y = 4$ to $0 \cdot x + y - 4 = 0$, czyli $A = 0$, $B = 1$, $C = -4$.
• •Prosta pionowa $x = -3$ to $x + 0 \cdot y + 3 = 0$, czyli $A = 1$, $B = 0$, $C = 3$. Tej prostej nie zapiszesz w postaci kierunkowej, a wzór na odległość działa dla niej bez problemu.

Szybki test: jeśli wyjdzie $d = 0$, punkt leży na prostej. Punkt $(3, 1)$ i prosta $2x - y - 5 = 0$ dają w liczniku $|6 - 1 - 5| = 0$, bo $1 = 2 \cdot 3 - 5$.

Rozwiązane zadania

Zadanie 1: Proste zastosowanie wzoru

Oblicz odległość punktu $P = (3, -1)$ od prostej $4x - 3y + 2 = 0$.

Rozwiązanie:

Odczytujemy: $A = 4$, $B = -3$, $C = 2$, $x_0 = 3$, $y_0 = -1$.

$d = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-1) + 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 3 + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|17|}{\sqrt{25}} = \frac{17}{5} = 3{,}4$

Odpowiedź: $d = \frac{17}{5} = 3{,}4$.

Zadanie 2: Prosta w postaci kierunkowej

Oblicz odległość punktu $A = (1, 5)$ od prostej $y = 2x - 3$.

Rozwiązanie:

Krok 1: Zamieniamy na postać ogólną. Przenosimy wszystko na jedną stronę:

$y = 2x - 3 \implies 2x - y - 3 = 0$

Więc $A = 2$, $B = -1$, $C = -3$.

Krok 2: Podstawiamy:

$d = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot 5 + (-3)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 5 - 3|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-6|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$

Odpowiedź: $d = \frac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2{,}68$.

Zadanie 3: Odległość między prostymi równoległymi

Oblicz odległość między prostymi $l_1: 3x + 4y - 5 = 0$ i $l_2: 3x + 4y + 10 = 0$.

Rozwiązanie:

Proste są równoległe (te same współczynniki $A$ i $B$). Odległość między prostymi równoległymi to odległość dowolnego punktu jednej prostej od drugiej.

Bierzemy punkt z $l_1$. Dla $x = 0$: $4y = 5$, czyli $y = \frac{5}{4}$. Punkt $P = (0, \frac{5}{4})$.

Odległość $P$ od $l_2$:

$d = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{5}{4} + 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|0 + 5 + 10|}{5} = \frac{15}{5} = 3$

Odpowiedź: $d = 3$.

Skrót dla prostych równoległych: Jeśli proste mają postać $Ax + By + C_1 = 0$ i $Ax + By + C_2 = 0$, to odległość to:

$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Sprawdzenie: $\frac{|-5 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{5} = 3$. Zgadza się.

Zadanie 4: Wyznaczanie równania prostej w danej odległości

Wyznacz równanie prostej równoległej do $y = \frac{3}{4}x$, oddalonej od punktu $A = (0, 0)$ o $d = 3$.

Rozwiązanie:

Prosta równoległa do $y = \frac{3}{4}x$ ma postać $y = \frac{3}{4}x + b$, czyli $3x - 4y + 4b = 0$ (mnożymy przez 4).

Odległość początku układu od tej prostej:

$3 = \frac{|3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 4b|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|4b|}{5}$ $|4b| = 15$ $b = \frac{15}{4} \quad \text{lub} \quad b = -\frac{15}{4}$

Odpowiedź: Są dwie proste: $y = \frac{3}{4}x + \frac{15}{4}$ i $y = \frac{3}{4}x - \frac{15}{4}$.

Zadanie 5: Pole trójkąta z odległości

Trójkąt $ABC$ ma wierzchołki $A = (0, 0)$, $B = (6, 0)$, $C = (2, 4)$. Oblicz pole trójkąta korzystając z odległości punktu od prostej.

Rozwiązanie:

Podstawa $AB$ leży na osi OX (oba punkty mają $y = 0$).

Długość podstawy: $|AB| = 6$.

Wysokość to odległość punktu $C = (2, 4)$ od prostej $AB$, czyli od osi OX (równanie: $y = 0$, czyli $0x + 1y + 0 = 0$):

$h = \frac{|0 \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 0|}{\sqrt{0 + 1}} = \frac{4}{1} = 4$

Pole:

$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$

Odpowiedź: $P = 12$ j².

W tym przypadku pole jest oczywiste, ale metoda działa dla dowolnych wierzchołków - wystarczy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa wierzchołki i policzyć odległość trzeciego.

Zadanie 6: Okrąg styczny do prostej

Okrąg o promieniu $r = 5$ jest styczny do prostej $4x + 3y - 8 = 0$, a jego środek leży na osi OX. Wyznacz współrzędne środka okręgu.

Rozwiązanie:

Okrąg jest styczny do prostej dokładnie wtedy, gdy odległość jego środka od tej prostej jest równa promieniowi: $d(S, l) = r$. To klasyczny warunek w zadaniach z geometrii analitycznej.

Środek leży na osi OX, więc $S = (a, 0)$. Podstawiamy do wzoru:

$\frac{|4a + 3 \cdot 0 - 8|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 5$ $\frac{|4a - 8|}{5} = 5$ $|4a - 8| = 25$

Wartość bezwzględna daje dwa przypadki: $4a - 8 = 25$, czyli $a = \frac{33}{4}$, albo $4a - 8 = -25$, czyli $a = -\frac{17}{4}$.

Odpowiedź: $S = \left(\frac{33}{4}, 0\right)$ lub $S = \left(-\frac{17}{4}, 0\right)$.

W wersji odwrotnej znasz środek i szukasz promienia: dla $S = (2, -1)$ i prostej $3x - 4y + 5 = 0$ promień to $r = \frac{|6 + 4 + 5|}{5} = 3$. Więcej o stycznych w poradniku o równaniu stycznej do okręgu.

Powiązane zastosowania

Wzór na odległość punktu od prostej przydaje się też w:

• •Znajdowaniu promienia okręgu wpisanego - promień okręgu wpisanego w trójkąt to odległość środka okręgu od dowolnego boku
• •Sprawdzaniu stycznej do okręgu - prosta jest styczna do okręgu o środku $S$ i promieniu $r$, gdy odległość $S$ od prostej wynosi dokładnie $r$
• •Zadaniach optymalizacyjnych - szukanie punktu na prostej najbliższego danemu punktowi

• •Szukaniu punktu symetrycznego względem prostej - przez punkt $P$ prowadzisz prostą prostopadłą do $l$, wyznaczasz punkt przecięcia $Q$, a ponieważ $Q$ jest środkiem odcinka $PP'$, to $P' = (2x_Q - x_P,\ 2y_Q - y_P)$. Cały schemat jest w poradniku o symetrii w układzie współrzędnych

Więcej zadań z geometrii analitycznej znajdziesz w naszym przewodniku po GA.

Typowe błędy

Błąd 1: Zapominanie o wartości bezwzględnej. Bez modułu wynik może wyjść ujemny, co nie ma sensu dla odległości.

Błąd 2: Prosta nie w postaci ogólnej. Wzór działa TYLKO dla $Ax + By + C = 0$. Jeśli masz $y = mx + b$, musisz zamienić.

Błąd 3: Mylenie A, B, C. W równaniu $2x - 3y + 7 = 0$ mamy $A = 2$, $B = -3$, $C = 7$. Uważaj na znaki!

Błąd 4: Zapominanie o dwóch rozwiązaniach. W zadaniu 4 dostaliśmy dwie proste. Wartość bezwzględna daje zawsze dwie opcje - po obu stronach.

Błąd 5: Zły znak przy C w postaci $Ax + By = D$. Prostą $3x - 4y = 12$ najpierw przepisz jako $3x - 4y - 12 = 0$. Tu $C = -12$, a nie $12$.

Co musisz umieć - checklista

• •Korzystać z warunku $d(S, l) = r$ dla okręgu stycznego do prostej
• •Łączyć wzór z obliczaniem pól i sprawdzaniem stycznych
• •Usuwać niewymierność z mianownika (np. $\frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$)

Przećwicz zadania z geometrii analitycznej w naszej bazie - mamy 280 zadań maturalnych z rozwiązaniami. Sprawdź też poradnik o równaniu okręgu, bo styczna do okręgu to popularne zastosowanie tego wzoru na maturze.

Następny krok Losuj kolejne zadanie