Dana jest prosta o równaniu y=-1/2 x+b, gdzie b > 0 przecina oś Oy w punkcie A, zaś oś Ox w punkcie B (zobacz rysunek). Pole trójkąta AOB wyznaczonego przez tę prostą i osie układu współrzędnych jest równe 16. Oblicz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie AOB.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: (4,2)
Wyznacza się współrzędne punktów przecięcia prostej z osiami, następnie wykorzystuje pole trójkąta do wyznaczenia parametru b, a na końcu wyznacza środek okręgu opisanego.
## Krok 1: Punkt przecięcia z osią Oy
Punkt A to przecięcie z osią Oy, więc x = 0: y = -1/2 · 0 + b = b
Zatem A = (0, b), gdzie b > 0.
## Krok 2: Punkt przecięcia z osią Ox
Punkt B to przecięcie z osią Ox, więc y = 0: 0 = -1/2 x + b 1/2 x = b x = 2b
Zatem B = (2b, 0).
## Krok 3: Wyznaczenie parametru b z warunku na pole
Trójkąt AOB ma wierzchołki: O = (0, 0), A = (0, b), B = (2b, 0).
Jest to trójkąt prostokątny z kątem prostym w punkcie O. Przyprostokątne mają długości: - |OA| = b - |OB| = 2b
Pole trójkąta: P = 1/2 · |OA| · |OB| = 1/2 · b · 2b = b²
Z warunku P = 16: b² = 16 b = 4 (bo b > 0)
## Krok 4: Współrzędne wierzchołków trójkąta
Po podstawieniu b = 4: - O = (0, 0) - A = (0, 4) - B = (8, 0)
## Krok 5: Środek okręgu opisanego
Dla trójkąta prostokątnego środek okręgu opisanego znajduje się w środku przeciwprostokątnej.
Przeciwprostokątną jest odcinek AB. Środek odcinka AB: S = ((0 + 8)/2, (4 + 0)/2) = (4, 2)
## Weryfikacja
Odległość od S = (4, 2) do każdego wierzchołka powinna być taka sama (promień): - |SO| = √(4² + 2²) = √(20) = 2√(5) - |SA| = √(4² + (2-4)²) = √(16 + 4) = √(20) = 2√(5) - |SB| = √((4-8)² + 2²) = √(16 + 4) = √(20) = 2√(5)
Odpowiedź: Środek okręgu opisanego ma współrzędne (4, 2).
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.