Niech prosta k będzie dana równaniem y=2x+1. Uzasadnij, że jej obrazem w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta do niej równoległa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że obraz prostej jest do niej równoległy
Rozważamy prostą k: y = 2x + 1.
## Krok 1: Wzór na symetrię środkową względem początku układu
Symetria środkowa S_O względem punktu O(0,0) przekształca punkt P(x, y) na punkt P'(x', y') według wzoru: x' = -x, y' = -y
## Krok 2: Znajdźmy równanie obrazu prostej k
Niech punkt P(x, y) leży na prostej k, czyli spełnia y = 2x + 1.
Jego obraz P'(x', y') w symetrii S_O ma współrzędne: x' = -x, y' = -y
Z tego wynika: x = -x', y = -y'
## Krok 3: Podstawmy do równania prostej k
Ponieważ punkt P(x, y) należy do k, to: y = 2x + 1
Podstawiając x = -x' i y = -y': -y' = 2(-x') + 1 -y' = -2x' + 1
Mnożymy obie strony przez -1: y' = 2x' - 1
## Krok 4: Równanie obrazu prostej
Obraz prostej k w symetrii S_O ma równanie: y = 2x - 1
(pomijamy prim dla uproszczenia zapisu)
## Krok 5: Uzasadnienie równoległości
Prosta k: y = 2x + 1 ma współczynnik kierunkowy a_k = 2
Obraz prostej k': y = 2x - 1 ma współczynnik kierunkowy a_(k') = 2
Ponieważ a_k = a_(k') = 2 i proste mają różne wyrazy wolne (1 ≠ -1), to:
Proste są równoległe (i różne).
---
Wniosek: Obraz prostej k w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prostą o tym samym współczynniku kierunkowym, a zatem prostą do niej równoległą.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.