Wyznacz takie liczby a i b, dla których układ równań 4x+y+2=0 ax²+y+b=0 jest sprzeczny, zaś układ równań 4x+y-2=0 b²x+y+a=0 ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a=-2, b=-2
Rozwiązuje się problem dla dwóch układów równań z warunkami na ich rozwiązalność.
## Analiza pierwszego układu (układ sprzeczny)
Układ: 4x+y+2=0 ax²+y+b=0
Aby układ był sprzeczny, równania nie mogą mieć wspólnych rozwiązań.
Z pierwszego równania: y = -4x - 2
Podstawia się do drugiego równania: ax² + (-4x - 2) + b = 0 ax² - 4x + (b - 2) = 0
Układ jest sprzeczny, gdy to równanie nie ma rozwiązań.
Przypadek 1: Jeśli a = 0, otrzymuje się: -4x + (b - 2) = 0
To równanie liniowe ma zawsze rozwiązanie (chyba że 0 = b - 2 i 0 ≠ 0, co jest niemożliwe).
Przypadek 2: Jeśli a ≠ 0, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań, gdy Δ< 0: Δ= 16 - 4a(b - 2) < 0 16 - 4ab + 8a < 0 4 + 2a - ab < 0
## Analiza drugiego układu (nieskończenie wiele rozwiązań)
Układ: 4x+y-2=0 b²x+y+a=0
Aby układ miał nieskończenie wiele rozwiązań, oba równania muszą być identyczne (przedstawiać tę samą prostą).
Przepisuję równania w postaci y = ...: - Równanie 1: y = -4x + 2 - Równanie 2: y = -b²x - a
Aby były identyczne: -b² = -4 oraz -a = 2
Z pierwszego warunku: b² = 4 b = 2 lub b = -2
Z drugiego warunku: a = -2
## Weryfikacja warunku ze sprzeczności
Dane jest a = -2. Sprawdza się warunek 4 + 2a - ab < 0:
Dla b = 2: 4 + 2(-2) - (-2)(2) = 4 - 4 + 4 = 4 < 0 Warunek nie jest spełniony.
Dla b = -2: 4 + 2(-2) - (-2)(-2) = 4 - 4 - 4 = -4 < 0 Warunek jest spełniony! ✓
## Odpowiedź
a = -2, b = -2
Układy równań: Metoda podstawiania i przeciwnych współczynników, interpretacja geometryczna układu oraz zadania tekstowe prowadzące do układu.