Kalkulator układu równań
Układ równań liniowych rozwiązuje się metodą podstawiania, metodą przeciwnych współczynników albo wyznacznikami. Wyznacznik główny rozstrzyga, ile rozwiązań ma układ: różny od zera oznacza dokładnie jedno, a równy zeru brak rozwiązań albo nieskończenie wiele. Kalkulator wyżej liczy oba warianty, podaje wynik w postaci dokładnej i pokazuje każde podstawienie.
Wyznacznik główny: W = -7
Wyznaczniki pomocnicze: Wx = -14, Wy = -7
Rozwiązanie: x = 2, y = 1
Układ oznaczony: ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Interpretacja geometryczna: proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie.
Układ: x + 3y = 5 2x - y = 3
Rozwiązanie w postaci dokładnej: x = 2, y = 1
- Wyznacznik głównyW = 1 3 2 -1 = 1 · (-1) - 2 · 3 = -7
- Wyznacznik zmiennej xW_x = 5 3 3 -1 = -14
- Wyznacznik zmiennej yW_y = 1 5 2 3 = -7
- Metoda przeciwnych współczynników: mnożymy równania tak, aby przy y stanęły liczby przeciwne(1 · (-1) - 2 · 3)x = 5 · (-1) - 3 · 3
- Stąd wzory Cramerax = W_x/W = -14/-7 = 2, y = W_y/W = -7/-7 = 1
- Sprawdzenie w pierwszym równaniu1 · 2 + 3 · 1 = 5
Jak to policzyć
- Uporządkuj oba równaniaPrzenieś wszystkie niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą, i ustaw je w tej samej kolejności w obu równaniach. Bez tego kroku współczynniki nie stoją jeden pod drugim i każda metoda zaczyna się od błędu przepisania. Brakującą niewiadomą zapisz ze współczynnikiem zero, żeby nic nie zginęło.
- Wybierz metodęMetoda podstawiania jest szybka, gdy przy którejś niewiadomej stoi jedynka. Metoda przeciwnych współczynników opłaca się, gdy współczynniki są wielokrotnościami. Wyznaczniki działają zawsze tak samo, niezależnie od liczb, i to one najkrócej rozstrzygają, czy układ w ogóle ma rozwiązanie.
- Policz wyznacznikiWyznacznik główny to iloczyn wyrazów na przekątnej głównej minus iloczyn wyrazów na przekątnej drugiej. Wyznacznik niewiadomej powstaje przez zastąpienie jej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Przy trzech niewiadomych ten sam schemat realizuje reguła Sarrusa, w której dopisuje się dwie pierwsze kolumny obok wyznacznika.
- Rozstrzygnij i sprawdźWyznacznik główny różny od zera oznacza układ oznaczony, a rozwiązanie to iloraz wyznacznika niewiadomej przez wyznacznik główny. Wyznacznik równy zeru wymaga porównania równań: proporcjonalne dają układ nieoznaczony, sprzeczne układ sprzeczny. Na koniec podstaw wynik do obu równań, bo to jedyne pewne sprawdzenie.
Przykład z matury
Co naprawdę mówi wyznacznik
Wyznacznik główny układu dwóch równań to liczba zbudowana wyłącznie ze współczynników przy niewiadomych, bez wyrazów wolnych. Jego zerowanie się oznacza dokładnie jedno: kolumny współczynników są proporcjonalne, czyli obie proste opisane równaniami mają ten sam kierunek. Wtedy albo się pokrywają, albo są równoległe i rozłączne, a rozstrzyga to dopiero porównanie wyrazów wolnych.
Dlatego sam wyznacznik główny nigdy nie wystarcza do odpowiedzi na pytanie o liczbę rozwiązań, gdy wyjdzie zero. Trzeba jeszcze spojrzeć na wyznaczniki niewiadomych: jeżeli wszystkie są zerami, układ jest nieoznaczony, a jeżeli choć jeden nie jest, układ jest sprzeczny. Reguła ta obowiązuje przy dwóch niewiadomych i tylko przy nich: w układzie trzech równań wszystkie cztery wyznaczniki bywają zerami także wtedy, gdy układ jest sprzeczny, więc rozstrzyga dopiero rząd macierzy. Zadania zamknięte z tego działu pytają najczęściej właśnie o taki przypadek z parametrem.
Interpretacja geometryczna, czyli zadania z rysunkiem
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą na płaszczyźnie, więc układ dwóch równań to pytanie o wspólne punkty dwóch prostych. Jeden punkt wspólny odpowiada układowi oznaczonemu, brak punktów wspólnych układowi sprzecznemu, a pokrywające się proste układowi nieoznaczonemu. Zadanie z rysunkiem sprawdza dokładnie to przejście: z obrazka odczytujesz liczbę rozwiązań, a nie liczysz niczego.
Przy trzech niewiadomych każde równanie opisuje płaszczyznę w przestrzeni. Trzy płaszczyzny mogą przeciąć się w jednym punkcie, wzdłuż prostej, mogą też nie mieć wspólnego punktu, choć każde dwie z nich się przecinają. Ten ostatni przypadek jest powodem, dla którego przy trzech niewiadomych same wyznaczniki bywają zbyt słabym narzędziem.
Zadania tekstowe prowadzące do układu
Większość punktów za układy równań na maturze pochodzi z zadań tekstowych, a nie z gotowych układów. Schemat jest stały: nazwij dwie wielkości literami, zapisz dwa niezależne warunki z treści i dopiero potem rozwiązuj. Klasyczne tematy to obwód i różnica boków prostokąta, dwa rodzaje biletów o różnych cenach, mieszanie roztworów o różnych stężeniach oraz zadania o wieku dwóch osób w dwóch różnych momentach.
Warto pamiętać o warunkach, które w treści są ukryte: długość boku i liczba biletów muszą być dodatnie, a liczba osób całkowita. Rozwiązanie układu, które tych warunków nie spełnia, trzeba odrzucić i napisać dlaczego. Więcej przykładów z pełnym rozpisaniem znajdziesz we wpisie o układach równań na maturze.
Rozwiązanie układu bywa parą ułamków o dużych mianownikach. Kalkulator liczy na ułamkach zwykłych, więc wynik jest dokładny, a nie zaokrąglony do kilku miejsc po przecinku.
Pułapki maturalne
Zerowy wyznacznik nie znaczy od razu brak rozwiązań
Wyznacznik główny równy zeru oznacza tylko tyle, że rozwiązanie nie jest jedno. Układ może być sprzeczny albo nieoznaczony, a to dwie zupełnie różne odpowiedzi. W układzie dwóch równań rozstrzyga porównanie wyrazów wolnych: równania proporcjonalne w całości dają nieskończenie wiele rozwiązań, a proporcjonalne tylko po lewej stronie żadnego. Przy trzech niewiadomych trzeba sięgnąć po rząd macierzy.
Znak przy przenoszeniu wyrazów na drugą stronę
Układ zapisany w postaci z zerem po prawej stronie trzeba najpierw uporządkować. Wyraz wolny przechodzący na prawą stronę zmienia znak, a pominięcie tego jest najczęstszym błędem w całym dziale. Ponieważ dalszy rachunek wygląda poprawnie, błędu nie widać aż do sprawdzenia wyniku w równaniach.
Sprawdzenie tylko w jednym równaniu
Podstawienie znalezionej pary liczb do jednego równania nic nie dowodzi, bo każdy punkt jednej prostej spełnia jej równanie. Sprawdzać trzeba w obu równaniach naraz i dopiero dwie prawdziwe równości potwierdzają wynik. W zadaniu otwartym za brak sprawdzenia punktu się nie traci, ale za błędny wynik już tak.
Najczęściej zadawane pytania
Pomnóż równania przez takie liczby, żeby współczynniki przy jednej niewiadomej stały się liczbami przeciwnymi, a potem dodaj równania stronami. Jedna niewiadoma znika, drugą wyliczasz wprost i podstawiasz do dowolnego z równań wyjściowych.
W układzie dwóch równań wtedy, gdy wyznacznik główny jest równy zeru, a przynajmniej jeden wyznacznik niewiadomej nie jest. Geometrycznie oznacza to dwie proste równoległe bez punktu wspólnego. Przy trzech niewiadomych to kryterium nie wystarcza, bo układ sprzeczny potrafi mieć wszystkie cztery wyznaczniki równe zeru i rozstrzyga dopiero rząd macierzy.
Nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo oba równania opisują tę samą prostą. Sprzeczny nie ma żadnego, bo proste są równoległe i rozłączne. W obu przypadkach wyznacznik główny jest zerem, więc rozstrzygają dopiero wyrazy wolne.
Podstawa programowa wymienia metodę podstawiania i metodę przeciwnych współczynników, a wyznaczniki są narzędziem dodatkowym. Wolno ich użyć i rozwiązanie jest wtedy pełnowartościowe, ale warto umieć obie drogi, bo w zadaniu z parametrem wyznacznik skraca rachunek o połowę.
Podstaw znalezione liczby do obu równań wyjściowych, a nie do przekształconych. Obie równości muszą być prawdziwe. Sprawdzenie w jednym równaniu niczego nie potwierdza, bo spełnia je nieskończenie wiele par liczb leżących na tej samej prostej.