Kalkulator funkcji liniowej
Funkcja liniowa ma wzór y = ax + b. Współczynnik kierunkowy a rozstrzyga o monotoniczności i o kącie nachylenia prostej do osi OX, a wyraz wolny b wskazuje punkt przecięcia wykresu z osią OY. Miejsce zerowe wychodzi z równania ax + b = 0. Kalkulator wyżej wyznacza oba współczynniki z dwóch punktów i rysuje wykres.
Wzór funkcji: y = -2x + 2
Współczynnik kierunkowy: a = -2
Wyraz wolny: b = 2
Miejsce zerowe: x = 1
Punkt przecięcia z osią OY: (0; 2)
Funkcja jest malejąca, bo współczynnik kierunkowy jest ujemny.
Wzór funkcji: y = -2x + 2
- Współczynnik kierunkowy z dwóch punktówa = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (4 - 0)/((-1) - 1) = -2
- Wyraz wolny z podstawienia pierwszego punktub = y₁ - a x₁ = 0 - (-2) · 1 = 2
- Wzór funkcjiy = -2x + 2
- Miejsce zerowex = -b/a = (-2)/(-2) = 1
Jak to policzyć
- Wypisz to, co jest daneZadanie podaje albo dwa punkty należące do wykresu, albo współczynniki wprost, albo warunek na równoległość lub prostopadłość do innej prostej. Od tego zależy, którym wzorem zaczynasz. Najczęstsza strata czasu to sięgnięcie po wzór na współczynnik kierunkowy wtedy, gdy w treści stoi on już gotowy, a szukany jest wyłącznie wyraz wolny.
- Policz współczynnik kierunkowyDla punktów o współrzędnych (x₁, y₁) oraz (x₂, y₂) współczynnik kierunkowy to iloraz różnicy drugich współrzędnych przez różnicę pierwszych. Kolejność odejmowania musi być taka sama w liczniku i w mianowniku. Gdy obie pierwsze współrzędne są równe, prosta jest pionowa i nie jest wykresem żadnej funkcji.
- Wyznacz wyraz wolnyPodstaw współrzędne dowolnego z dwóch punktów do wzoru y = ax + b i wylicz b. Wybierz ten punkt, w którym liczby są prostsze, bo wynik jest identyczny. Sprawdzenie zajmuje jedną linijkę: podstaw drugi punkt i zobacz, czy otrzymana równość jest prawdziwa.
- Odczytaj własności funkcjiZnak współczynnika kierunkowego rozstrzyga monotoniczność: dodatni oznacza funkcję rosnącą, ujemny malejącą, a zero funkcję stałą. Miejsce zerowe wychodzi z równania ax + b = 0, a punkt przecięcia z osią OY ma zawsze współrzędne (0, b). To są cztery odpowiedzi, o które arkusz pyta najczęściej.
Przykład z matury
Współczynnik kierunkowy i kąt nachylenia
Liczba stojąca przy zmiennej x niesie w zadaniach maturalnych trzy różne informacje naraz i warto umieć przechodzić między nimi bez liczenia. Po pierwsze, jest to przyrost wartości funkcji przypadający na jednostkę przyrostu argumentu: gdy współczynnik wynosi 3, przesunięcie o jeden w prawo podnosi wykres o trzy w górę. Po drugie, jego znak decyduje o monotoniczności, czyli o tym, czy prosta się wznosi, czy opada. Po trzecie, jest to tangens kąta nachylenia prostej do osi OX.
Ta trzecia interpretacja wraca w arkuszach coraz częściej, bo łączy funkcję liniową z trygonometrią. Kątowi 45 stopni odpowiada współczynnik równy jeden, kątowi 30 stopni wartość tangensa tego kąta, a każdemu kątowi rozwartemu współczynnik ujemny.
Proste równoległe i prostopadłe
Dwie proste zapisane w postaci kierunkowej są równoległe dokładnie wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Gdy równe są obie liczby, proste się pokrywają i mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, co w zadaniu o punkt przecięcia jest zupełnie inną odpowiedzią. Warunek prostopadłości brzmi inaczej: iloczyn współczynników kierunkowych musi być równy minus jeden, więc jeden z nich jest odwrotnością drugiego ze zmienionym znakiem.
Ten warunek ma jeden wyjątek, o którym arkusz lubi przypominać. Prosta pozioma o równaniu y = b ma współczynnik kierunkowy równy zeru, a prostopadła do niej jest prosta pionowa o równaniu x = c, która nie ma postaci kierunkowej i nie jest wykresem funkcji. Dlatego zadania z prostopadłością prawie zawsze zakładają, że współczynnik kierunkowy jest różny od zera.
Funkcja liniowa z parametrem
Zadanie z parametrem jest tu prostsze niż w funkcji kwadratowej, bo warunków do zapisania jest mniej. Gdy polecenie mówi o funkcji rosnącej, wystarczy nierówność mówiąca, że współczynnik kierunkowy jest dodatni, a przy funkcji malejącej, że jest ujemny. Zwrot o funkcji stałej oznacza współczynnik kierunkowy równy zeru przy dowolnym wyrazie wolnym. Uwaga na sformułowanie o funkcji liniowej, która nie jest stała: to ten sam warunek, tylko zapisany przez zaprzeczenie.
Drugi typowy warunek dotyczy miejsca zerowego albo przejścia wykresu przez wskazany punkt. Podstawiasz wtedy współrzędne punktu do wzoru z parametrem i rozwiązujesz zwykłe równanie liniowe z jedną niewiadomą. Więcej takich zadań, rozpisanych krok po kroku, znajdziesz we wpisie o funkcji liniowej na maturze.
Współczynniki wyznaczone z dwóch punktów bywają ułamkami. Kalkulator zostawia je ułamkiem zwykłym, bo rozwinięcie dziesiętne jednej trzeciej nigdy się nie kończy, a odpowiedź musi być skończona.
Pułapki maturalne
Funkcja stała to nadal funkcja liniowa
Wzór y = b z zerowym współczynnikiem kierunkowym opisuje funkcję liniową, tyle że stałą. Odpowiedź mówiąca, że to nie jest funkcja liniowa, jest po prostu błędna. Taka funkcja nie ma miejsc zerowych, chyba że wyraz wolny również wynosi zero, i wtedy zeruje się dla każdego argumentu.
Kolejność odejmowania w liczniku i mianowniku
We wzorze na współczynnik kierunkowy oba odejmowania muszą iść w tę samą stronę. Zapisanie różnicy drugich współrzędnych od punktu drugiego do pierwszego, a różnicy pierwszych odwrotnie, daje liczbę przeciwną do prawidłowej. Rachunek wygląda wtedy poprawnie na każdym kroku, a wynik ma zły znak.
Wyraz wolny to nie jest miejsce zerowe
Liczba b jest drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu z osią OY, a nie miejscem zerowym funkcji. Miejsce zerowe leży na osi OX i wychodzi dopiero z równania ax + b = 0. Pomylenie tych dwóch liczb kosztuje punkt w zadaniach o odczyt własności z wykresu.
Najczęściej zadawane pytania
Najpierw policz współczynnik kierunkowy jako iloraz różnicy drugich współrzędnych przez różnicę pierwszych. Potem podstaw jeden z punktów do wzoru y = ax + b i wylicz wyraz wolny. Dla punktów (1, 0) oraz (-1, 4) wychodzi a = -2 oraz b = 2, czyli y = -2x + 2.
Oznacza funkcję stałą, której wykresem jest prosta równoległa do osi OX. Taka funkcja nie jest ani rosnąca, ani malejąca, i dla każdego argumentu przyjmuje tę samą wartość. Miejsca zerowego nie ma, chyba że wyraz wolny także jest zerem.
Wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy minus jeden. Dla prostej o współczynniku 2 prosta prostopadła ma współczynnik równy minus jedna druga. Wyjątkiem jest prosta pozioma, do której prostopadła jest prosta pionowa bez postaci kierunkowej.
Rozwiąż równanie ax + b = 0, czyli podziel liczbę przeciwną do wyrazu wolnego przez współczynnik kierunkowy. Dla funkcji y = -0,5x - 1,5 miejscem zerowym jest liczba -3. Funkcja stała różna od zera miejsca zerowego nie ma w ogóle.
Postać kierunkowa y = ax + b pokazuje wprost współczynnik kierunkowy i wyraz wolny, ale nie opisuje prostych pionowych. Postać ogólna Ax + By + C = 0 opisuje każdą prostą, w tym pionową, za to własności funkcji trzeba z niej dopiero odczytać.