Funkcja liniowa na maturze - wzory, wykresy i zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Funkcja liniowa - najprostsza, ale nie do zlekceważenia

Funkcja liniowa to matematyczny fundament - prosty temat, który jednak pojawia się na każdej maturze. Na arkuszu CKE znajdziesz 1-3 zadania bezpośrednio z funkcji liniowej, ale jej znajomość jest potrzebna też w geometrii analitycznej (równania prostych) i układach równań.

W naszej bazie mamy ponad 70 zadań z funkcji liniowej. To temat, na którym nie wolno tracić punktów - zadania są przewidywalne i rozwiązywalne w 1-2 minuty.

Wzór funkcji liniowej

$f(x) = ax + b$

lub równoważnie:

$y = ax + b$

gdzie:

• •$a$ - współczynnik kierunkowy (decyduje o nachyleniu prostej)
• •$b$ - wyraz wolny (punkt przecięcia z osią OY)

Dziedziną funkcji liniowej jest zawsze cały zbiór $\mathbb{R}$. Zbiorem wartości też jest $\mathbb{R}$, chyba że $a = 0$: wtedy funkcja jest stała i przyjmuje tylko jedną wartość, $b$.

Co mówi współczynnik kierunkowy?

Geometryczna interpretacja: $a = \tg\alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do osi OX.

Jeśli znasz dwa punkty $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$, współczynnik kierunkowy:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Wyznaczanie wzoru funkcji - 3 scenariusze CKE

Scenariusz 1: Dane dwa punkty

Masz punkty $A(1, 3)$ i $B(3, 7)$.

Krok 1: Oblicz $a$:
$a = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ Krok 2: Wstaw jeden punkt do $y = 2x + b$:
$3 = 2 \cdot 1 + b \implies b = 1$

Wzór: $f(x) = 2x + 1$

Scenariusz 2: Dany punkt i współczynnik kierunkowy

Masz $a = -3$ i punkt $P(2, 1)$.

$1 = -3 \cdot 2 + b \implies b = 7$

Wzór: $f(x) = -3x + 7$

Scenariusz 3: Dany wykres - odczytanie wzoru

CKE często daje wykres i pyta o wzór. Zawsze:

1. 1.Odczytaj wyraz wolny $b$ - gdzie prosta przecina oś OY
2. 2.Odczytaj współczynnik kierunkowy $a$ - weź dwa "czytelne" punkty na kratce i oblicz $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Miejsca zerowe i punkty przecięcia

Miejsce zerowe (przecięcie z osią OX)

$ax + b = 0 \implies x_0 = -\frac{b}{a}$

To punkt, w którym $y = 0$. Dla $f(x) = 2x - 6$: $x_0 = -\frac{-6}{2} = 3$, czyli punkt $(3, 0)$.

Wzór $x_0 = -\frac{b}{a}$ działa tylko dla $a \neq 0$. Funkcja stała $f(x) = b$ z $b \neq 0$ nie ma miejsca zerowego, a funkcja $f(x) = 0$ ma ich nieskończenie wiele: każda liczba rzeczywista jest jej miejscem zerowym.

Przecięcie z osią OY

Wstawiamy $x = 0$: $f(0) = b$. Punkt $(0, b)$.

Punkt przecięcia dwóch prostych

CKE uwielbia to pytanie. Masz $y = 2x + 1$ i $y = -x + 7$.

$2x + 1 = -x + 7$
$3x = 6$
$x = 2, \quad y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$

Punkt przecięcia: $(2, 5)$.

Ile punktów wspólnych mają dwie proste

Szukanie punktu przecięcia to rozwiązywanie układu dwóch równań. Wynik zależy od współczynników:

• •$a_1 \neq a_2$: proste przecinają się w jednym punkcie, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
• •$a_1 = a_2$ i $b_1 \neq b_2$: proste są równoległe, układ nie ma rozwiązań,
• •$a_1 = a_2$ i $b_1 = b_2$: proste się pokrywają, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Metody liczenia takich układów opisujemy w poradniku o układach równań.

Kiedy funkcja liniowa jest dodatnia, a kiedy ujemna

Typowe polecenie brzmi: „wyznacz zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie”. Wystarczą miejsce zerowe i znak $a$:

• •$a > 0$ (funkcja rosnąca): $f(x) < 0$ dla $x < x_0$ i $f(x) > 0$ dla $x > x_0$,
• •$a < 0$ (funkcja malejąca): odwrotnie, $f(x) > 0$ dla $x < x_0$ i $f(x) < 0$ dla $x > x_0$.

Przykład: dla $f(x) = 2x - 6$ miejsce zerowe to $x_0 = 3$, a $a = 2 > 0$, więc $f(x) > 0$ dla $x \in (3, +\infty)$ i $f(x) < 0$ dla $x \in (-\infty, 3)$. To samo wychodzi z nierówności $2x - 6 > 0$.

Na wykresie wartości dodatnie to część prostej nad osią OX, a ujemne to część pod nią.

Równoległość i prostopadłość

To pada na maturze regularnie - zarówno samodzielnie, jak i w geometrii analitycznej.

Proste równoległe

$y = a_1 x + b_1 \parallel y = a_2 x + b_2 \iff a_1 = a_2 \text{ i } b_1 \neq b_2$

Równoległe proste mają ten sam współczynnik kierunkowy, ale różne wyrazy wolne.

Przykład: prosta równoległa do $y = 3x - 2$ przechodząca przez punkt $P(1, 4)$ ma $a = 3$. Podstawiamy punkt: $4 = 3 \cdot 1 + b$, więc $b = 1$ i szukana prosta to $y = 3x + 1$.

Proste prostopadłe

$y = a_1 x + b_1 \perp y = a_2 x + b_2 \iff a_1 \cdot a_2 = -1$

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi $-1$.

Przykład: Prosta prostopadła do $y = 3x + 2$ ma $a = -\frac{1}{3}$.

Funkcja liniowa w zadaniach tekstowych

CKE ukrywa funkcję liniową w zadaniach "z życia":

• •"Cena wody to 5 zł za przyłączenie + 3 zł za każdy m$^3$" -> $f(x) = 3x + 5$
• •"Temperatura spada o 2°C na godzinę, o 8:00 było 20°C" -> $f(t) = -2t + 20$
• •"Zbiornik napełnia się w tempie 15 litrów na minutę, na początku było 200 litrów" -> $V(t) = 15t + 200$

Schemat: szukaj stałej stawki (to $a$) i wartości początkowej (to $b$).

Rozwiązane zadania z CKE

Zadanie 1: Odczytanie wzoru z wykresu (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Prosta na rysunku przechodzi przez punkty $(-2, 0)$ i $(0, 4)$. Wzór funkcji to

A. $y = 2x + 4$    B. $y = -2x + 4$    C. $y = 2x - 4$    D. $y = -2x - 4$

Rozwiązanie:

Z punktu $(0, 4)$: $b = 4$

$a = \frac{4 - 0}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2$

Odpowiedź: A $y = 2x + 4$

Zadanie 2: Prostopadłość (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Prosta $y = \frac{2}{3}x - 1$ jest prostopadła do prostej

A. $y = \frac{2}{3}x + 5$    B. $y = -\frac{2}{3}x + 5$    C. $y = \frac{3}{2}x + 5$    D. $y = -\frac{3}{2}x + 5$

Rozwiązanie:

Prosta prostopadła do $y = \frac{2}{3}x - 1$ ma $a_2 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$

Odpowiedź: D

Zadanie 3: Zadanie tekstowe (otwarte, 2 pkt)

Treść: Firma kurierska pobiera opłatę stałą 8 zł za nadanie paczki oraz 2,50 zł za każdy kilogram wagi. Napisz wzór opisujący koszt wysłania paczki o wadze $x$ kg i oblicz koszt wysłania paczki o wadze 6 kg.

Rozwiązanie:

Wzór: $K(x) = 2{,}50x + 8$

Dla $x = 6$:
$K(6) = 2{,}50 \cdot 6 + 8 = 15 + 8 = 23 \text{ zł}$

Odpowiedź: Koszt wynosi 23 zł.

Zadanie 4: Punkt na prostej (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Punkt $A(3, m)$ leży na prostej $y = -2x + 11$. Wartość $m$ jest równa

A. $5$    B. $17$    C. $-5$    D. $7$

Rozwiązanie:

Wstawiamy $x = 3$:
$m = -2 \cdot 3 + 11 = -6 + 11 = 5$

Odpowiedź: A

Jeszcze dwa typy zadań

Zadanie 5: Prosta prostopadła przez punkt

Treść: Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji $f(x) = \frac{1}{3}x + 2$ i przechodzi przez punkt $A(3, 1)$.

Rozwiązanie:

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej: $a_2 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{\frac{1}{3}} = -3$.

Podstawiamy punkt $A$ do $y = -3x + b$:
$1 = -3 \cdot 3 + b \implies b = 10$

Odpowiedź: $g(x) = -3x + 10$

Zadanie 6: Parametr a monotoniczność

Treść: Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f(x) = (m - 2)x + 3$ jest rosnąca?

Rozwiązanie:

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni. Tutaj $a = m - 2$, więc:
$m - 2 > 0 \implies m > 2$

Odpowiedź: $m \in (2, +\infty)$

Najczęstsze błędy

Błąd 1: Mylenie współczynnika kierunkowego z wyrazem wolnym. Na wykresie $b$ to punkt na osi OY, a $a$ to "nachylenie" (ile $y$ zmienia się, gdy $x$ rośnie o 1).

Błąd 2: Błędny znak $a$ przy prostopadłości. Pamiętaj: bierzesz odwrotność i zmieniasz znak. Nie jedno z dwóch - oba naraz.

Błąd 3: W zadaniach tekstowych - mylenie stawki jednostkowej ($a$) z opłatą stałą ($b$). "5 zł za sztukę + 10 zł za dostawę" to $f(x) = 5x + 10$, nie odwrotnie.

Błąd 4: Niespójna kolejność punktów we wzorze na $a$. Jeśli w liczniku jest $y_2 - y_1$, to w mianowniku musi być $x_2 - x_1$, z tych samych punktów i w tej samej kolejności. Zamiana kolejności tylko w jednym miejscu odwraca znak współczynnika.

Jak ćwiczyć?

Funkcja liniowa to temat, na którym powinieneś zdobywać 100% punktów. Zadania są przewidywalne i rozwiązywalne w minutę. Przećwicz ponad 70 zadań z funkcji liniowej na Sprawnej Maturze - zacznij od zamkniętych, potem przejdź do otwartych.

Jeśli chcesz pogłębić temat, przeczytaj nasz przewodnik po geometrii analitycznej - tam funkcja liniowa wraca w kontekście równań prostych na płaszczyźnie kartezjańskiej. Sprawdź też jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze - wiele z nich dotyczy właśnie prostych.

Następny krok Losuj kolejne zadanie