Funkcja liniowa na maturze - wzory, wykresy i zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Funkcja liniowa - najprostsza, ale nie do zlekceważenia

Funkcja liniowa to matematyczny fundament - prosty temat, który jednak pojawia się na każdej maturze. Na arkuszu CKE znajdziesz 1-3 zadania bezpośrednio z funkcji liniowej, ale jej znajomość jest potrzebna też w geometrii analitycznej (równania prostych) i układach równań.

W naszej bazie mamy 81 zadań z funkcji liniowej. To temat, na którym nie wolno tracić punktów - zadania są przewidywalne i rozwiązywalne w 1-2 minuty.

Wzór funkcji liniowej

$$f(x) = ax + b$$

lub równoważnie:

$$y = ax + b$$

gdzie:

Co mówi współczynnik kierunkowy?

Geometryczna interpretacja: $a = \tg\alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do osi OX.

Jeśli znasz dwa punkty $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$, współczynnik kierunkowy:

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Wyznaczanie wzoru funkcji - 3 scenariusze CKE

Scenariusz 1: Dane dwa punkty

Masz punkty $A(1, 3)$ i $B(3, 7)$.

Krok 1: Oblicz $a$:
$$a = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$$ Krok 2: Wstaw jeden punkt do $y = 2x + b$:
$$3 = 2 \cdot 1 + b \implies b = 1$$

Wzór: $f(x) = 2x + 1$

Scenariusz 2: Dany punkt i współczynnik kierunkowy

Masz $a = -3$ i punkt $P(2, 1)$.

$$1 = -3 \cdot 2 + b \implies b = 7$$

Wzór: $f(x) = -3x + 7$

Scenariusz 3: Dany wykres - odczytanie wzoru

CKE często daje wykres i pyta o wzór. Zawsze:
1. Odczytaj wyraz wolny $b$ - gdzie prosta przecina oś OY
2. Odczytaj współczynnik kierunkowy $a$ - weź dwa "czytelne" punkty na kratce i oblicz $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Miejsca zerowe i punkty przecięcia

Miejsce zerowe (przecięcie z osią OX)

$$ax + b = 0 \implies x_0 = -\frac{b}{a}$$

To punkt, w którym $y = 0$. Dla $f(x) = 2x - 6$: $x_0 = -\frac{-6}{2} = 3$, czyli punkt $(3, 0)$.

Przecięcie z osią OY

Wstawiamy $x = 0$: $f(0) = b$. Punkt $(0, b)$.

Punkt przecięcia dwóch prostych

CKE uwielbia to pytanie. Masz $y = 2x + 1$ i $y = -x + 7$.

$$2x + 1 = -x + 7$$
$$3x = 6$$
$$x = 2, \quad y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$$

Punkt przecięcia: $(2, 5)$.

Równoległość i prostopadłość

To pada na maturze regularnie - zarówno samodzielnie, jak i w geometrii analitycznej.

Proste równoległe

$$y = a_1 x + b_1 \parallel y = a_2 x + b_2 \iff a_1 = a_2 \text{ i } b_1 \neq b_2$$

Równoległe proste mają ten sam współczynnik kierunkowy, ale różne wyrazy wolne.

Proste prostopadłe

$$y = a_1 x + b_1 \perp y = a_2 x + b_2 \iff a_1 \cdot a_2 = -1$$

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi $-1$.

Przykład: Prosta prostopadła do $y = 3x + 2$ ma $a = -\frac{1}{3}$.

Funkcja liniowa w zadaniach tekstowych

CKE ukrywa funkcję liniową w zadaniach "z życia":

Schemat: szukaj stałej stawki (to $a$) i wartości początkowej (to $b$).

Rozwiązane zadania z CKE

Zadanie 1: Odczytanie wzoru z wykresu (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Prosta na rysunku przechodzi przez punkty $(-2, 0)$ i $(0, 4)$. Wzór funkcji to

A. $y = 2x + 4$    B. $y = -2x + 4$    C. $y = 2x - 4$    D. $y = -2x - 4$

Rozwiązanie:

Z punktu $(0, 4)$: $b = 4$

$$a = \frac{4 - 0}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2$$

Odpowiedź: A $y = 2x + 4$

Zadanie 2: Prostopadłość (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Prosta $y = \frac{2}{3}x - 1$ jest prostopadła do prostej

A. $y = \frac{2}{3}x + 5$    B. $y = -\frac{2}{3}x + 5$    C. $y = \frac{3}{2}x + 5$    D. $y = -\frac{3}{2}x + 5$

Rozwiązanie:

Prosta prostopadła do $y = \frac{2}{3}x - 1$ ma $a_2 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$

Odpowiedź: D

Zadanie 3: Zadanie tekstowe (otwarte, 2 pkt)

Treść: Firma kurierska pobiera opłatę stałą 8 zł za nadanie paczki oraz 2,50 zł za każdy kilogram wagi. Napisz wzór opisujący koszt wysłania paczki o wadze $x$ kg i oblicz koszt wysłania paczki o wadze 6 kg.

Rozwiązanie:

Wzór: $K(x) = 2{,}50x + 8$

Dla $x = 6$:
$$K(6) = 2{,}50 \cdot 6 + 8 = 15 + 8 = 23 \text{ zł}$$

Odpowiedź: Koszt wynosi 23 zł.

Zadanie 4: Punkt na prostej (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Punkt $A(3, m)$ leży na prostej $y = -2x + 11$. Wartość $m$ jest równa

A. $5$    B. $17$    C. $-5$    D. $7$

Rozwiązanie:

Wstawiamy $x = 3$:
$$m = -2 \cdot 3 + 11 = -6 + 11 = 5$$

Odpowiedź: A

Najczęstsze błędy

Błąd 1: Mylenie współczynnika kierunkowego z wyrazem wolnym. Na wykresie $b$ to punkt na osi OY, a $a$ to "nachylenie" (ile $y$ zmienia się, gdy $x$ rośnie o 1).

Błąd 2: Błędny znak $a$ przy prostopadłości. Pamiętaj: bierzesz odwrotność i zmieniasz znak. Nie jedno z dwóch - oba naraz.

Błąd 3: W zadaniach tekstowych - mylenie stawki jednostkowej ($a$) z opłatą stałą ($b$). "5 zł za sztukę + 10 zł za dostawę" to $f(x) = 5x + 10$, nie odwrotnie.

Jak ćwiczyć?

Funkcja liniowa to temat, na którym powinieneś zdobywać 100% punktów. Zadania są przewidywalne i rozwiązywalne w minutę. Przećwicz 81 zadań z funkcji liniowej na Sprawnej Maturze - zacznij od zamkniętych, potem przejdź do otwartych.

Jeśli chcesz pogłębić temat, przeczytaj nasz przewodnik po geometrii analitycznej - tam funkcja liniowa wraca w kontekście równań prostych na płaszczyźnie kartezjańskiej. Sprawdź też jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze - wiele z nich dotyczy właśnie prostych.