Układy równań na maturze z matematyki - metody rozwiązywania z przykładami krok po kroku

Układy równań - klucz do zadań tekstowych

Układy równań to temat, który pojawia się na maturze głównie w zadaniach tekstowych. CKE uwielbia dawać problemy, które sprowadzają się do ułożenia i rozwiązania układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi. W naszej bazie zadań z układów równań mamy ponad 20 zadań z prawdziwych arkuszy.

Układy równań ściśle łączą się z funkcją liniową (graficzna interpretacja), równaniami i geometrią analityczną (punkt przecięcia prostych).

Metoda podstawiania

Kiedy stosować: gdy łatwo wyrazić jedną zmienną z jednego równania.

Algorytm

1. 1.Z jednego równania wyraź jedną zmienną (np. $y = \ldots$)
2. 2.Podstaw do drugiego równania
3. 3.Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą
4. 4.Wróć i oblicz drugą zmienną

Przykład

$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -5 \end{cases}$

Z drugiego równania: $x = 3y - 5$

Podstawiamy do pierwszego: $2(3y - 5) + y = 7$

$6y - 10 + y = 7 \quad \Rightarrow \quad 7y = 17 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{17}{7}$ $x = 3 \cdot \frac{17}{7} - 5 = \frac{51}{7} - \frac{35}{7} = \frac{16}{7}$

Wynik: $x = \frac{16}{7}$, $y = \frac{17}{7}$

Metoda przeciwnych współczynników (algebraiczna)

Kiedy stosować: gdy współczynniki są "wygodne" do eliminacji (małe liczby, łatwo wyrównać).

Algorytm

1. 1.Pomnóż jedno lub oba równania, aby współczynniki przy wybranej zmiennej były przeciwne
2. 2.Dodaj równania stronami - wybrana zmienna zniknie
3. 3.Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą
4. 4.Podstaw i oblicz drugą zmienną

Przykład

$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$

Współczynniki przy $y$ są już przeciwne ($+2$ i $-2$). Dodajemy:

$8x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 2$

Z pierwszego: $6 + 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad y = 3$

Ta metoda jest zazwyczaj szybsza - szczególnie na maturze, gdzie liczy się czas.

Interpretacja graficzna

Każde równanie liniowe $ax + by = c$ to prosta na płaszczyźnie. Rozwiązanie układu to punkt przecięcia tych prostych.

Trzy przypadki:

1. 1.Proste przecinające się - dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony)
2. 2.Proste równoległe - brak rozwiązań (układ sprzeczny)
3. 3.Proste pokrywające się - nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony)

Jak rozpoznać?

Dla układu $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$:

To bezpośrednio łączy się z geometrią analityczną - punkt przecięcia prostych to dokładnie rozwiązanie układu ich równań.

Układy równań w zadaniach tekstowych

Na maturze układy najczęściej pojawiają się ukryte w zadaniach z treścią. Strategia:

1. Zidentyfikuj niewiadome

Czego szukamy? Nazwij je $x$ i $y$.

2. Ułóż równania

Każdy warunek z treści = jedno równanie. Potrzebujesz tylu równań, ile masz niewiadomych.

3. Rozwiąż układ

Wybierz wygodniejszą metodę.

4. Sprawdź wynik

Podstaw do treści zadania - czy odpowiedź ma sens?

Typowe zadania tekstowe CKE

• •Mieszanie roztworów: "zmieszano roztwory o stężeniach..." - tu przydają się procenty
• •Ruch: "dwa pociągi wyruszają..." (droga = prędkość $\times$ czas)
• •Praca: "dwóch robotników pracuje..." (wzajemne tempa pracy)
• •Zakupy: "kupiono x sztuk po y zł..."
• •Geometria: szukanie wymiarów figury przy danych warunkach - łączy się z planimetrią

Układy z jednym równaniem kwadratowym

Czasem na maturze pojawia się układ mieszany:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$

Strategia: z równania liniowego wyrażamy jedną zmienną i podstawiamy do kwadratowego:

$y = 5 - x$
$x^2 + (5-x)^2 = 13$
$x^2 + 25 - 10x + x^2 = 13$
$2x^2 - 10x + 12 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
$(x-2)(x-3) = 0$

Rozwiązania: $(x,y) = (2,3)$ lub $(x,y) = (3,2)$.

Tu przydaje się znajomość funkcji kwadratowej i wyrażeń algebraicznych.

Jak ćwiczyć

1. 1.Rozwiąż ponad 20 zadań z układów równań z naszej bazy CKE
2. 2.Przećwicz równania i nierówności - pokrewne umiejętności
3. 3.Powtórz funkcję liniową - interpretacja graficzna
4. 4.Rozwiąż arkusze maturalne - układy zawsze się pojawiają
5. 5.Sprawdź się w symulatorze matury na czas

Układy równań to narzędzie, nie cel sam w sobie. Opanuj obie metody do perfekcji, a zadania tekstowe staną się proste.

Następny krok Losuj kolejne zadanie