29 prawdziwych zadań maturalnych z jednego, małego działu
Układy równań to jeden z mniejszych działów na maturze podstawowej, ale pojawia się w niemal każdym arkuszu CKE, zwykle jako zadanie zamknięte za 1 punkt, czasem jako zadanie otwarte za 2 punkty. W bazie sprawnamatura.pl zebraliśmy 29 prawdziwych zadań maturalnych z tego działu z lat 2011-2026, każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku. Niżej pokazujemy pięć typów poleceń, jakie CKE stawia z układów równań, po jednym rozwiązanym przykładzie na typ, a na końcu masz tabelę ze wszystkimi 29 zadaniami do samodzielnego rozwiązania.
Pięć typów zadań z układów równań na maturze
Zanim przejdziesz do przykładów, zapamiętaj ten podział, bo ułatwia rozpoznanie, o co właściwie pyta polecenie:
- 1.Klasyczne rozwiązanie układu, czyli znajdź i (metoda podstawiania albo przeciwnych współczynników).
- 2.Ustalenie liczby rozwiązań układu, bez wyznaczania samych i (sprzeczny, oznaczony, nieoznaczony).
- 3.Zadania z parametrem, gdzie szukasz wartości litery , albo , przy której układ ma określoną własność.
- 4.Interpretacja geometryczna, czyli dopasowanie wykresu albo opisu prostych do układu równań.
- 5.Zadanie z treścią, w którym najpierw sam układasz równania z opisu sytuacji, a dopiero potem je rozwiązujesz.
Przykład 1: klasyczne rozwiązanie metodą podstawiania
0/7Pokaż rozwiązanie
Podstaw do drugiego równania:
Wróć do pierwszego wzoru: . Odpowiedź: , . Zawsze warto sprawdzić wynik, podstawiając obie liczby z powrotem do obu równań wyjściowych. Zajmuje to dziesięć sekund, a chroni przed utratą punktu za błąd rachunkowy. Rozwiąż to zadanie, a cały dział znajdziesz w zakładce układy równań.
Przykład 2: ile rozwiązań ma układ, bez liczenia x i y
0/7Pokaż rozwiązanie
Oba równania są teraz identyczne. To sygnał, że układ jest nieoznaczony, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo każda para , spełniająca jedno równanie spełnia też drugie. Rozwiąż to zadanie.
Trzy możliwe wyniki takiego zadania wyglądają tak:
| Sytuacja po uproszczeniu | Liczba rozwiązań | Interpretacja geometryczna |
|---|---|---|
| Równania identyczne (np. ) | Nieskończenie wiele | Te same proste |
| Sprzeczność (np. ) | Brak rozwiązań | Proste równoległe, różne |
| Różne współczynniki kierunkowe | Dokładnie jedno | Proste przecinają się |
Przykład 3: parametr, dla którego układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
0/7Pokaż rozwiązanie
Żeby układ miał nieskończenie wiele rozwiązań, oba równania muszą być identyczne, czyli współczynniki przy muszą się zgadzać: , stąd . Rozwiąż to zadanie.
Przykład 4: parametr, dla którego układ nie ma rozwiązań
0/7Pokaż rozwiązanie
Rozwiązanie. Układ dwóch prostych zapisanych jako nie ma rozwiązań, gdy proste są równoległe, ale się nie pokrywają, czyli mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej to , drugiej to . Z warunku równoległości: , więc . Sprawdzenie: dla drugie równanie ma postać , czyli wyraz wolny () różni się od wyrazu wolnego pierwszej prostej (). Proste są więc równoległe i się nie pokrywają, więc układ nie ma rozwiązań. Rozwiąż to zadanie.
Przykład 5: parametr, gdy znasz już rozwiązanie układu
0/7Pokaż rozwiązanie
Pierwsze równanie daje dwie możliwości: albo . Drugie równanie jednoznacznie wskazuje . Skoro para liczb ma być rozwiązaniem całego układu, czyli obu równań naraz, odrzucasz , bo nie spełnia drugiego równania. To najczęstsza pułapka w tym typie zadań: policzenie tylko jednego równania i zaznaczenie złej wartości z dwóch, które pasują do niego samego. Rozwiąż to zadanie.
Przykład 6: interpretacja geometryczna
0/7Pokaż rozwiązanie
Rozwiązanie. Zapisz oba równania w postaci : pierwsze daje , drugie . Współczynniki kierunkowe ( i ) są różne, więc proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie. Rozwiąż to zadanie. Więcej takich zadań, gdzie równania odpowiadają prostym na płaszczyźnie, znajdziesz w geometrii analitycznej.
Przykład 7: zadanie z treścią, czyli sam układasz równania
0/7Treść (matura sierpień 2017, 1 pkt): Obwód prostokąta o bokach długości i jest równy . Jeden z boków jest o dłuższy od drugiego. Który układ równań opisuje tę sytuację?
Pokaż rozwiązanie
Wszystkie 29 zadań z działu Układy równań
Tabela pokazuje wszystkie zadania z tego działu w bazie, pogrupowane według typów opisanych wyżej. Każde ma pełne rozwiązanie krok po kroku, część również wideo.
Klasyczne rozwiązanie układu
| Źródło | Punkty |
|---|---|
| CKE PP treningowe | 2 pkt |
| Matura sierpień 2011 | 1 pkt |
| Matura maj 2013 | 1 pkt |
| Matura sierpień 2013 | 1 pkt |
| Matura próbna CKE grudzień 2023 | 1 pkt |
Liczba rozwiązań układu
| Źródło | Punkty |
|---|---|
| Matura czerwiec 2024 | 1 pkt |
| CKE 2025 PP | 1 pkt |
| Matura próbna kwiecień 2020 | 1 pkt |
| Matura sierpień 2016 | 1 pkt |
| Matura maj 2022 | 1 pkt |
| Matura próbna CKE marzec 2026 | 1 pkt |
Interpretacja geometryczna
| Źródło | Punkty |
|---|---|
| Matura maj 2014 | 1 pkt |
| Matura maj 2015 | 1 pkt |
| Matura maj 2021 | 1 pkt |
| Matura próbna luty 2013 | 1 pkt |
| Matura sierpień 2015 | 1 pkt |
| Matura sierpień 2018 | 1 pkt |
Zadania z parametrem
| Źródło | Punkty |
|---|---|
| Matura czerwiec 2016 | 1 pkt |
| Matura czerwiec 2017 | 1 pkt |
| Matura czerwiec 2019 | 1 pkt |
| Matura maj 2011 | 1 pkt |
| Matura maj 2019 | 1 pkt |
| Matura próbna CKE grudzień 2024 | 1 pkt |
| Matura próbna kwiecień 2015 | 1 pkt |
| Matura próbna marzec 2021 | 1 pkt |
| Matura sierpień 2019 | 1 pkt |
| CKE 2015-2023 PP | 2 pkt |
| CKE 2015-2023 PP | 2 pkt |
Zadanie z treścią
| Źródło | Punkty |
|---|---|
| Matura sierpień 2017 | 1 pkt |
Trzy pułapki, które kosztują punkt w tym dziale
Mnożenie tylko jednej strony równania. Gdy sprowadzasz współczynniki do wspólnej postaci, musisz pomnożyć całe równanie, obie strony naraz, inaczej psujesz cały układ.
Podanie obu wartości z równania kwadratowego przy parametrze. Jak w przykładzie 5, samo daje dwie liczby, ale tylko jedna spełnia drugie równanie układu. Zawsze sprawdzaj oba równania, nie tylko to, które wygląda prościej.
Mylenie "brak rozwiązań" z "jedno rozwiązanie" w interpretacji geometrycznej. Proste równoległe, czyli te same współczynniki kierunkowe, nie mają punktu wspólnego, chyba że dodatkowo się pokrywają, wtedy mają ich nieskończenie wiele. Różne współczynniki kierunkowe oznaczają zawsze dokładnie jeden punkt wspólny.
Najczęstsze pytania
Ile punktów jest zwykle za zadanie z układu równań na maturze?
Najczęściej 1 punkt w zadaniu zamkniętym. Rzadziej pojawia się jako zadanie otwarte za 2 punkty, gdy trzeba samodzielnie rozwiązać cały układ.
Jak sprawdzić, że układ nie ma rozwiązań, bez rysowania wykresu?
Sprowadź oba równania do postaci . Jeśli współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne różne, układ jest sprzeczny.
Czym różni się układ oznaczony od nieoznaczonego?
Oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli proste się przecinają. Nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań, czyli po uproszczeniu oba równania są identyczne, bo to te same proste.
Czy da się sprawdzić rozwiązanie układu równań online?
Tak, solver matematyczny rozpisuje rozwiązanie układu krok po kroku, więc możesz porównać własny tok rozumowania z poprawnym.
Gdzie znajdę więcej zadań z tego działu?
Cały dział, łącznie z zadaniami spoza tej listy, znajdziesz w zakładce układy równań, a metody rozwiązywania krok po kroku opisują teksty o metodzie podstawiania i metodzie przeciwnych współczynników.
Podsumowanie
Układy równań to mały, ale pewny dział: jedno zadanie w niemal każdym arkuszu, zwykle za 1 punkt, pięć powtarzalnych typów poleceń. Naucz się rozpoznawać, o co właściwie pyta zadanie (wartości i , liczbę rozwiązań, parametr czy interpretację wykresu), a reszta to gotowy schemat.
Plan na dziś: przejdź dział układów równań i rozwiąż po jednym zadaniu z każdego typu opisanego na tej stronie. Jeśli szykujesz się do matury szerzej i masz mniej regularnych godzin na naukę, na przykład uczysz się w technikum, sprawdź też, czy twój plan nauki jest dopasowany do twojego kalendarza, a nie do cudzego.
