Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest para różnych dodatnich liczb całkowitych. Jednym z równań tego układu jest 2x+y=6. Wyznacz drugie równanie układu, wiedząc, że jest to równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: y=4x
Szukamy drugiego równania układu, które jest prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych.
## Krok 1: Forma drugiego równania
Prosta przechodząca przez początek ma postać: y = ax gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym.
## Krok 2: Znajdowanie rozwiązania układu
Podstawiamy y = ax do równania 2x + y = 6: 2x + ax = 6 x(2 + a) = 6 x = 6/(2 + a)
Następnie: y = ax = a · 6/(2 + a) = 6a/(2 + a)
## Krok 3: Warunki na rozwiązanie
Rozwiązanie to para różnych dodatnich liczb całkowitych, więc: - x ∈ Z_+ - y ∈ Z_+ - x ≠ y
Aby x = 6/(2 + a) było dodatnią liczbą całkowitą, liczba (2 + a) musi być dodatnim dzielnikiem 6.
Dzielniki 6: 1, 2, 3, 6
## Krok 4: Sprawdzenie możliwości
- Jeśli 2 + a = 1, to a = -1, wtedy x = 6, y = -6 (nie jest dodatnie) ✗ - Jeśli 2 + a = 2, to a = 0, wtedy x = 3, y = 0 (nie jest dodatnie) ✗ - Jeśli 2 + a = 3, to a = 1, wtedy x = 2, y = 2 (nie są różne) ✗ - Jeśli 2 + a = 6, to a = 4, wtedy x = 1, y = 4 ✓
## Krok 5: Weryfikacja
Dla a = 4, równanie to y = 4x.
Sprawdzamy rozwiązanie (x, y) = (1, 4): - 2x + y = 2 · 1 + 4 = 6 ✓ - y = 4x czyli 4 = 4 · 1 ✓ - Liczby 1 i 4 są różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi ✓
Odpowiedź: y = 4x
Układy równań: Metoda podstawiania i przeciwnych współczynników, interpretacja geometryczna układu oraz zadania tekstowe prowadzące do układu.