CKE 2015-2023 PP

Dane są liczby: a=3log₃ 2-log₃ 16 b=2log₃ 6-log₃ 18 Wykaż, że a+b=0.

Uzasadnij, że dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x różnych od 1/3 wartość wyrażenia...

Na rysunku przedstawiono wykresy trzech parami przecinających się prostych. Te proste to:

Dany jest trójkąt ABC, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y=1/2 x+1, y=7-x oraz...

Wyznacz takie liczby a i b, dla których układ równań 4x+y+2=0 ax²+y+b=0 jest...

Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest para różnych dodatnich liczb całkowitych...

Wśród podanych poniżej nierówności wskaż tę, której zbiorem rozwiązań jest przedział (-3,1).

W tabelce podano wartości funkcji kwadratowej f(x)=ax²+bx+c dla wybranych trzech argumentów. | x | 0 |...

Rozważmy prostokąt o polu mniejszym od 24, w którym jeden bok jest od drugiego dłuższy o 5. Oblicz długość...

Równanie 3(2-x)/(4x-3)=3/2 nie ma takiego samego rozwiązania, jak równanie:

Do wyrażenia 1/(x+1) określonego dla x ≠ -1 dodano jego odwrotność. Oblicz x, dla którego otrzymana...

Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o 20% większą niż druga. Napełnienie pustego...

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu...

Funkcja W jest określona wzorem W(x)=3x⁴-bx-2a dla wszystkich liczb rzeczywistych. Równość W(-1)+W(1)=0...

Na tablicy zapisano następujące potęgi:...

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział...

Na rysunku są przedstawione fragmenty wykresów funkcji kwadratowych f i g. Funkcja f jest określona wzorem...

Różnica największej i najmniejszej wartości, jakie funkcja kwadratowa f(x)=-1/2 x²-2x+6 przyjmuje w...

Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji f, a na rysunku 2. - wykres funkcji g. Funkcja g jest...

Wyznacz wartość największą funkcji f(x)=1/(x²+4x-1) w przedziale ⟨1,3⟩.

Funkcja f, której dziedziną jest zbiór ⟨-1,5⟩, jest określona wzorem f(x)=-x²+6x+5. Wyznacz...

Wykres funkcji kwadratowej f przecina oś Ox w punktach x=1 oraz x=3 i przechodzi przez punkt (0,-3)...

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej f(x)=ax²+bx+c, przechodzi przez punkt (-2,10) oraz...

Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=ax²+4x+1. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, leży na prostej...

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x)=-1/3 x²-2x+c jest przedział (-∞,7⟩. Zatem...

Największa wartość funkcji kwadratowej f(x)=a(x-2)²-4, gdzie a ≠ 0, w przedziale domkniętym...

Funkcja kwadratowa f, której miejscami zerowymi są liczby -2 i 4, dla argumentu 1 przyjmuje wartość...

Wierzchołki trójkąta ABC leżą na paraboli, która jest wykresem pewnej funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek)...

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie rysujemy łamane. Kolejne wierzchołki każdej z tych łamanych to punkty:...

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α i β, w którym sin α= √(6)/3...

Dana jest liczba a=sin 72° . Zapisz liczbę 1+tg² 72° w zależności od a.

Oblicz wartość wyrażenia (2sin α-3cos α)/(3cos α-5sin α), jeśli wiadomo, że...

Kąty α i β są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym i cos α=2/5. Oblicz...

Dla pewnego kąta ostrego α funkcje trygonometryczne sinus i cosinus mają wartości...

Kąt α jest kątem ostrym oraz cos α=2/3. Wykaż, że średnia arytmetyczna liczb:...

Wykaż, że jeżeli α i β są kątami ostrymi takimi, że sin α=√(35)/6 oraz...

Funkcja wymierna f jest dana wzorem f(x)=(x²+2x-3)/(x²-3x-6). Wyznacz wszystkie wartości argumentu, dla...

Najmniejszą wartością, jaką funkcja kwadratowa f dana wzorem f(x)=ax²+bx+c przyjmuje w przedziale...

Funkcja kwadratowa f przyjmuje w przedziale ⟨0,3⟩ największą wartość dla argumentów 0 i 3...

Oblicz sumę wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatnich nie większych od 1000 i niepodzielnych przez 3.

W pewnym ciągu geometrycznym a_n wyraz a₄ jest osiem razy większy od wyrazu a₁. Drugi wyraz tego ciągu...

Trójwyrazowy ciąg (x+1,x-1,2x) jest arytmetyczny dla

W ciągu arytmetycznym a_n dla n ≥ 1, a₁=8 oraz a₁+a₂+a₃=33. Wtedy suma a₄+a₅+a₆ jest równa

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) dana jest wzorem S_n=(n²-25n)/4, gdzie...

Suma 23 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) dla n ≥ 1 jest równa 1564. Oblicz średnią...

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla n ≥ 1. Wykaż, że ciąg (b_n), określony dla n ≥ 1...

Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów. Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi...

W ciągu geometrycznym rosnącym pierwszy wyraz jest równy (-16), a siódmy wyraz jest równy...

W ciągu geometrycznym (a_n), w którym a₁=1, znane są wartości dwóch wyrazów: a_k=16 i a_(k+2)=32...

Kacper przez 5 dni zapisywał swoje wydatki. Zauważył, że każdego dnia wydatki były niższe o 20% w stosunku do...

W ciągu geometrycznym (a_n) o różnych i niezerowych wyrazach różnica między wyrazami piątym i trzecim jest trzy...

Dany jest ciąg geometryczny (a_n) o wszystkich wyrazach różnych od zera, określony dla n ≥ 1. Wykaż, że ciąg...

Dana jest funkcja wykładnicza f(x)=2^x oraz ciąg o wyrazie ogólnym a_n=f(3n), dla n ≥ 1. Wykaż, że ciąg...

Skończony ciąg (a₁,a₂,a₃,a₄,a₅) jest geometryczny. Uzasadnij, że mając dany tylko wyraz środkowy a₃...

Trójkąt ostrokątny ABC jest wpisany w okrąg o środku O i promieniu 4. Kąt CAB jest równy kątowi OCB...

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb o boku długości 3. Krawędź boczna DS ma długość 4 i jest...

Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną AC rombu ABCD oraz wierzchołki A=(-2,1) i...

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku w punkcie O i promieniu r (zobacz rysunek). Cięciwa AC ma długość...

Punkty A, B, C, D, E są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz rysunek)...

Punkty A, B, C, D są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Odcinek DB...

Parami różne punkty A, B, C, D, E leżą na okręgu. Odcinki DE i AC są równoległe, zaś...

Końce odcinka AB o długości 9 są środkami okręgów o promieniach 6 i 4 (zobacz rysunek). Punkt C...

Dwa okręgi o promieniach r i R są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej w punktach A i B...

Dane są dwa okręgi styczne wewnętrznie: okrąg O₁ o środku S i promieniu równym 6 oraz okrąg O₂ o...

Pole trójkąta ABC równe jest S. Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku x : y : x, gdzie x i y są...

Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie C. W trójkątach ABC i CDE zachodzą związki:...

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przyprostokątna AC ma długość 12. Punkt E jest środkiem...

Na rysunku przedstawiono trapez ABCD oraz zaznaczono wysokości DE i CF tego trapezu. Punkt F jest...

W trójkącie ABC o bokach długości |AC|=b, |BC|=a i kącie między nimi 60° poprowadzono dwusieczną...

Dany jest trapez prostokątny ABCD taki, że kąty przy wierzchołkach A i D są proste oraz |AB|=10...

Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na kwadracie, którego jeden z boków jest zawarty w prostej o równaniu...

Dwa boki trójkąta prostokątnego ABC są zawarte w prostych o równaniach y = 2x − 3 oraz...

Różnica współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równa różnicy odwrotności tych współczynników. Uzasadnij, że te...

Punkty A i B, których pierwsze współrzędne są równe odpowiednio −2 i 2, należą do wykresu funkcji...

Prosta l przecina okrąg o środku S w punktach A=(1-√(2),-1/8) i...

Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF, którego środkiem symetrii jest punkt O=(3,-√(3)), a wierzchołek A...

Punkt M=(2,1) jest środkiem boku AB, a punkt N=(8,3) to środek boku BC kwadratu ABCD. Oblicz...

Trójkąt o wierzchołkach A=(-6,0), B=(6,4) i C=(-3,-8) przekształcono przez symetrię środkową względem...

Prosta y = 0 jest osią symetrii figury złożonej z dwóch prostych o równaniach y=(p+2)x-q i y=(q-5)x+2p...

Dany jest trapez równoramienny ABCD, niebędący równoległobokiem, w którym AB||CD oraz A=(-9,7), B=(3,1)...

Punkt P leży wewnątrz trójkąta o wierzchołkach A=(6,0), B=(0,4), C=(0,0). Oznaczmy przez P_(AC)...

Przedstawiona na rysunku bryła składa się z walca i półkuli. Wysokość walca jest taka, jak promień jego podstawy i jest...

Podstawą graniastosłupa prostego czworokątnego ABCDEFGH jest kwadrat ABCD (zobacz rysunek). Kąt AHC między...

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Punkty G...

Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF (zobacz rysunek) jest równa 8, a tangens kąta między...

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym krawędź podstawy ma długość 4, jest równa 16√(6)...

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krótsza przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod...

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości 6√(3) oraz krawędzi bocznej długości...

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej jest równy...

W stożku stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy 3/2. Oblicz sinus kąta między...

W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku AB oraz |CD|=|CB| (zobacz rysunek). Bok CB przedłużono...

Tworząca stożka o kącie rozwarcia α ma długość 8. Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe...

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny ABCDEFGH o krawędzi podstawy długości 4√(2) oraz krawędzi...

W sześcianie ABCDA₁B₁C₁D₁ przekątna AC₁ tworzy z płaszczyzną ABCD kąt α. Punkty L i J...

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest 2 razy dłuższa od wysokości ostrosłupa poprowadzonej na...

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wysokość ma długość H oraz kąt między krawędzią boczną i...

W stożku różnica długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 6. Cosinus kąta α między tworzącą a...

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ABCDEFGH o krawędzi podstawy długości 5 oraz krawędzi bocznej długości...

Dana jest prosta o równaniu y=-1/2 x+b, gdzie b > 0 przecina oś Oy w punkcie A, zaś oś Ox w...

Punkty A=(7,6) i B=(1,-2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Promień koła opisanego na tym...

Trójkąt T jest podobny do trójkąta T₁ w skali k=1/6, a trójkąt T₂ jest podobny do trójkąta...

Punkt A=(2,7) jest wierzchołkiem kwadratu ABCD, a punkt S=(6,5) jest środkiem okręgu opisanego na tym...

W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku A jest prosty oraz sin (∢ABC)=1/3...

Do okręgu o środku O poprowadzono z zewnętrznego punktu P dwie styczne przecinające się w P pod kątem...

Na płaszczyźnie dane są trzy punkty: A=(-1,1), B=(5,-3) oraz C=(3,2). Wyznacz równanie środkowej...

Wykres funkcji kwadratowej f danej wzorem f(x)=2x²-5x+3 przecięto prostymi o równaniach x=-1 oraz x=2...

Niech prosta k będzie dana równaniem y=2x+1. Uzasadnij, że jej obrazem w symetrii środkowej względem początku...

W pojemniku jest 10 kul, w tym b kul białych i 10-b kul czarnych, gdzie b ≠ 5. Z tego pojemnika...

Wykonano pomiary wysokości czterech krzeseł i każde dwa rezultaty były różne. Adam zapisał wyniki w metrach i...

Dany jest zbiór A={1,2,...,2n,2n+1}, gdzie n ≥ 1, złożony z 2n+1 kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że...

Rzucono 100 razy sześcienną kostką do gry. Średnia arytmetyczna liczb oczek w pierwszych 40 rzutach była równa...

Zestaw danych: x₁,x₂,x₃,...,x_n ma średnią arytmetyczną a i odchylenie standardowe s. Wykaż, że zestaw...

Adam otrzymał z trzech kolejnych klasówek następujące oceny: 6, 4, 4. Oblicz, jaką ocenę otrzymał Adam z...

Wszystkich par (a,b) takich, że a ∈ {1,2,3,4,5,6,7} i b ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} oraz suma a+b jest...

Liczb ze zbioru Z={1,2,3,...,36}, których nie można uzyskać jako iloczynu dwóch niekoniecznie różnych liczb ze...

Liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których każda cyfra występuje co najwyżej raz oraz suma cyfry setek i cyfry...

Ile jest wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych, w zapisie których każda cyfra jest inna, żadna nie jest zerem oraz...

Dana jest tabela złożona z sześciu wierszy i dziewięciu kolumn (zobacz rysunek). Oblicz, ile w tej tabeli można...

Wszystkie losy loterii fantowej zostały ponumerowane kolejno od numeru 10000 do numeru 99999. Te losy, którym...

Na rysunku jest przedstawiony trzynastokąt wypukły o kolejnych wierzchołkach od A₁ do A₁₃ oraz przekątna...

Spośród wierzchołków sześcianu wybieramy losowo dwa różne wierzchołki. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania...

Ze zbioru wszystkich krawędzi (krawędzi bocznych i krawędzi podstawy) ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego losujemy...