CKE 2015-2023 PP

Na początku roku akademickiego mężczyźni stanowili $40\%$ wszystkich studentów. Na koniec roku liczba wszystkich stude...

Funkcja $f$ jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\lt 0$ jest przedział $(1,5)$....

Wartość wyrażenia $\frac{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{-16}}{-8}$ jest równa

Odwrotnością liczby $2\sqrt{2}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{4}{3}}$ jest liczba

Liczba $\sqrt[3]{4^{-1}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}\cdot 16^{\frac{1}{3}}$ jest równa

Dane są liczby $a=\log 3$, $b=\log 2$. Wyznacz logarytm dziesiętny z liczby $72$ za pomocą $a$ i $b$.

Liczba o $2$ większa od liczby $\log_5 4$ jest równa

Na lokacie złożono $1000$ zł przy rocznej stopie procentowej $p\%$ (procent składany). Odsetki naliczane są co kwart...

Dany jest trójkąt o bokach długości $a$, $b$, $c$. Stosunek $a:b:c$ jest równy $3:5:7$. Które zdanie jest fałs...

Nominalna stopa oprocentowania lokaty wynosi $3\%$ w stosunku rocznym (bez uwzględnienia podatku). Odsetki kapitalizow...

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości $6\sqrt{3}$ oraz krawędzi bocznej długości \(12\...

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej jest równy...

W stożku stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy $\frac{3}{2}$. Oblicz sinus kąta między tworząc...

W trójkącie $ABC$ punkt $D$ jest środkiem boku $AB$ oraz $|CD|=|CB|$ (zobacz rysunek). Bok $CB$ przedłużono ta...

Tworząca stożka o kącie rozwarcia $\alpha$ ma długość $8$. Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe...

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny $ABCDEFGH$ o krawędzi podstawy długości $4\sqrt{2}$ oraz krawędzi boc...

W sześcianie $ABCDA_1B_1C_1D_1$ przekątna $AC_1$ tworzy z płaszczyzną $ABCD$ kąt $\alpha$. Punkty $L$ i $J$...

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest $2$ razy dłuższa od wysokości ostrosłupa poprowadzonej na t...

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wysokość ma długość $H$ oraz kąt między krawędzią boczną i płaszcz...

W stożku różnica długości tworzącej i promienia podstawy jest równa $6$. Cosinus kąta $\alpha$ między tworzącą a pł...

W pewnej szkole przez trzy kolejne lata zmieniała się liczba uczniów. W pierwszym roku liczba uczniów zmalała i na konie...

Graniastosłup prawidłowy czworokątny $ABCDEFGH$ o krawędzi podstawy długości $5$ oraz krawędzi bocznej długości...

Dana jest prosta o równaniu $y=-\frac{1}{2}x+b$, gdzie $b\gt 0$ przecina oś $Oy$ w punkcie $A$, zaś oś $Ox$ w...

Punkty $A=(7,6)$ i $B=(1,-2)$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego $ABC$. Promień koła opisanego na tym trójkąc...

Trójkąt $T$ jest podobny do trójkąta $T_1$ w skali $k=\frac{1}{6}$, a trójkąt $T_2$ jest podobny do trójkąta \(T...

Punkt $A=(2,7)$ jest wierzchołkiem kwadratu $ABCD$, a punkt $S=(6,5)$ jest środkiem okręgu opisanego na tym kwadra...

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty oraz $\sin (\sphericalangle ABC)=\frac{1}{3}$....

Do okręgu o środku $O$ poprowadzono z zewnętrznego punktu $P$ dwie styczne przecinające się w $P$ pod kątem...

Na płaszczyźnie dane są trzy punkty: $A=(-1,1)$, $B=(5,-3)$ oraz $C=(3,2)$. Wyznacz równanie środkowej poprowadzon...

Wykres funkcji kwadratowej $f$ danej wzorem $f(x)=2x^2-5x+3$ przecięto prostymi o równaniach $x=-1$ oraz $x=2$....

Niech prosta $k$ będzie dana równaniem $y=2x+1$. Uzasadnij, że jej obrazem w symetrii środkowej względem początku uk...

Autobus nazywamy przepełnionym, jeżeli w pewnym momencie znajduje się w nim co najmniej $50$ pasażerów. Dwóch inspekto...

W pojemniku jest $10$ kul, w tym $b$ kul białych i $10-b$ kul czarnych, gdzie $b\ne 5$. Z tego pojemnika losujem...

Wykonano pomiary wysokości czterech krzeseł i każde dwa rezultaty były różne. Adam zapisał wyniki w metrach i odchylenie...

Dany jest zbiór $A=\{1,2,...,2n,2n+1\}$, gdzie $n\ge 1$, złożony z $2n+1$ kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że l...

Rzucono $100$ razy sześcienną kostką do gry. Średnia arytmetyczna liczb oczek w pierwszych $40$ rzutach była równa...

Zestaw danych: $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ ma średnią arytmetyczną $a$ i odchylenie standardowe $s$. Wykaż, że zestaw da...

Adam otrzymał z trzech kolejnych klasówek następujące oceny: $6$, $4$, $4$. Oblicz, jaką ocenę otrzymał Adam z czw...

Wszystkich par $(a,b)$ takich, że $a\in \{1,2,3,4,5,6,7\}$ i $b\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ oraz suma $a+b$ jest p...

Liczb ze zbioru $Z=\{1,2,3,...,36\}$, których nie można uzyskać jako iloczynu dwóch niekoniecznie różnych liczb ze zbi...

Liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których każda cyfra występuje co najwyżej raz oraz suma cyfry setek i cyfry j...

Ile jest wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych, w zapisie których każda cyfra jest inna, żadna nie jest zerem oraz...

Dane są liczby: $$\begin{split} &a=3\log_3 2-\log_3 16\\[6pt] &b=2\log_3 6-\log_3 18 \end{split}$$ Wykaż, że $a+b=0$.

Dana jest tabela złożona z sześciu wierszy i dziewięciu kolumn (zobacz rysunek). Oblicz, ile w tej tabeli można narysowa...

Wszystkie losy loterii fantowej zostały ponumerowane kolejno od numeru $10000$ do numeru $99999$. Te losy, którym na...

Na rysunku jest przedstawiony trzynastokąt wypukły o kolejnych wierzchołkach od $A_1$ do $A_{13}$ oraz przekątna...

Spośród wierzchołków sześcianu wybieramy losowo dwa różne wierzchołki. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołkó...

Ze zbioru wszystkich krawędzi (krawędzi bocznych i krawędzi podstawy) ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego losujemy jed...

Uzasadnij, że dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich $x$ różnych od $\frac{1}{3}$ wartość wyrażenia...

Na rysunku przedstawiono wykresy trzech parami przecinających się prostych. Te proste to:

Dany jest trójkąt $ABC$, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: $y=\frac{1}{2}x+1$, $y=7-x$ oraz...

Wyznacz takie liczby $a$ i $b$, dla których układ równań $$\begin{cases} 4x+y+2=0\\ax^2+y+b=0 \end{cases}$$ jest sp...

Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest para różnych dodatnich liczb całkowitych. Jedny...

Wśród podanych poniżej nierówności wskaż tę, której zbiorem rozwiązań jest przedział $(-3,1)$.

W tabelce podano wartości funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$ dla wybranych trzech argumentów. $x$ $0$ $1$ \(6\...

Rozważmy prostokąt o polu mniejszym od $24$, w którym jeden bok jest od drugiego dłuższy o $5$. Oblicz długość dłużs...

Równanie $\frac{3(2-x)}{4x-3}=\frac{3}{2}$ nie ma takiego samego rozwiązania, jak równanie:

Do wyrażenia $\frac{1}{x+1}$ określonego dla $x\ne -1$ dodano jego odwrotność. Oblicz $x$, dla którego otrzymana s...

Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o $20\%$ większą niż druga. Napełnienie pustego b...

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$. Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu...

Funkcja $W$ jest określona wzorem $W(x)=3x^4-bx-2a$ dla wszystkich liczb rzeczywistych. Równość $W(-1)+W(1)=0$ zac...

Na tablicy zapisano następujące potęgi:...

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej, wiedząc, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział...

Na rysunku są przedstawione fragmenty wykresów funkcji kwadratowych $f$ i $g$. Funkcja $f$ jest określona wzorem...

Różnica największej i najmniejszej wartości, jakie funkcja kwadratowa $$f(x)=-\frac{1}{2}x^2-2x+6$$ przyjmuje w przedzia...

Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji $f$, a na rysunku 2. - wykres funkcji $g$. Funkcja $g$ jest określ...

Wyznacz wartość największą funkcji $f(x)=\frac{1}{x^2+4x-1}$ w przedziale $\langle 1,3\rangle$.

Funkcja $f$, której dziedziną jest zbiór $\langle -1,5\rangle$, jest określona wzorem $f(x)=-x^2+6x+5$. Wyznacz z...

Wykres funkcji kwadratowej $f$ przecina oś $Ox$ w punktach $x=1$ oraz $x=3$ i przechodzi przez punkt $(0,-3)$....

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$, przechodzi przez punkt $(-2,10)$ oraz...

Dana jest funkcja kwadratowa $f(x)=ax^2+4x+1$. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, leży na prostej...

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f(x)=-\frac{1}{3}x^2-2x+c$ jest przedział $(-\infty ,7\rangle$. Zatem współcz...

Największa wartość funkcji kwadratowej $f(x)=a(x-2)^2-4$, gdzie $a\ne 0$, w przedziale domkniętym...

Funkcja kwadratowa $f$, której miejscami zerowymi są liczby $-2$ i $4$, dla argumentu $1$ przyjmuje wartość \(3\...

Wierzchołki trójkąta $ABC$ leżą na paraboli, która jest wykresem pewnej funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Po...

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie rysujemy łamane. Kolejne wierzchołki każdej z tych łamanych to punkty:...

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ i $\beta$, w którym $\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$....

Dana jest liczba $a=\sin 72^\circ$. Zapisz liczbę $1+\operatorname{tg}^2 72^\circ$ w zależności od $a$.

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\cos \alpha -5\sin \alpha }$, jeśli wiadomo, że...

Kąty $\alpha$ i $\beta$ są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym i $\cos \alpha =\frac{2}{5}$. Oblicz...

Dla pewnego kąta ostrego $\alpha$ funkcje trygonometryczne sinus i cosinus mają wartości \($\sin$ $\alpha$ =a-$\frac{1}{4}$...

Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym oraz $\cos \alpha =\frac{2}{3}$. Wykaż, że średnia arytmetyczna liczb:...

Wykaż, że jeżeli $\alpha$ i $\beta$ są kątami ostrymi takimi, że $\sin \alpha =\frac{\sqrt{35}}{6}$ oraz...

Funkcja wymierna $f$ jest dana wzorem $f(x)=\frac{x^2+2x-3}{x^2-3x-6}$. Wyznacz wszystkie wartości argumentu, dla kt...

Najmniejszą wartością, jaką funkcja kwadratowa $f$ dana wzorem $f(x)=ax^2+bx+c$ przyjmuje w przedziale...

Funkcja kwadratowa $f$ przyjmuje w przedziale $\langle 0,3\rangle$ największą wartość dla argumentów $0$ i $3$....

Oblicz sumę wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatnich nie większych od $1000$ i niepodzielnych przez $3$.

W pewnym ciągu geometrycznym $a_n$ wyraz $a_4$ jest osiem razy większy od wyrazu $a_1$. Drugi wyraz tego ciągu jes...

Trójwyrazowy ciąg $(x+1,x-1,2x)$ jest arytmetyczny dla

W ciągu arytmetycznym $a_n$ dla $n\ge 1$, $a_1=8$ oraz $a_1+a_2+a_3=33$. Wtedy suma $a_4+a_5+a_6$ jest równa

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ dana jest wzorem $S_n=\frac{n^2-25n}{4}$, gdzie...

Suma $23$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ dla $n\ge 1$ jest równa $1564$. Oblicz średnią arytm...

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony dla $n\ge 1$. Wykaż, że ciąg $(b_n)$, określony dla $n\ge 1$ wzore...

Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów. Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi. Uzasadni...

W ciągu geometrycznym rosnącym pierwszy wyraz jest równy $(-16)$, a siódmy wyraz jest równy...

W ciągu geometrycznym $(a_n)$, w którym $a_1=1$, znane są wartości dwóch wyrazów: $a_k=16$ i $a_{k+2}=32$, gdzie...

Kacper przez $5$ dni zapisywał swoje wydatki. Zauważył, że każdego dnia wydatki były niższe o $20\%$ w stosunku do w...

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ o różnych i niezerowych wyrazach różnica między wyrazami piątym i trzecim jest trzy razy...

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ o wszystkich wyrazach różnych od zera, określony dla $n\ge 1$. Wykaż, że ciąg...

Dana jest funkcja wykładnicza $f(x)=2^x$ oraz ciąg o wyrazie ogólnym $a_n=f(3n)$, dla $n\ge 1$. Wykaż, że ciąg...

Skończony ciąg $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ jest geometryczny. Uzasadnij, że mając dany tylko wyraz środkowy $a_3$, można...

Trójkąt ostrokątny $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $O$ i promieniu $4$. Kąt $CAB$ jest równy kątowi $OCB$...

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest romb o boku długości $3$. Krawędź boczna $DS$ ma długość $4$ i jest jednocześni...

Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną $AC$ rombu $ABCD$ oraz wierzchołki $A=(-2,1)$ i...

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku w punkcie $O$ i promieniu r (zobacz rysunek). Cięciwa $AC$ ma długość...

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ są położone w tej kolejności na okręgu o środku $O$ (zobacz rysunek). Odcinki...

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$ są położone w tej kolejności na okręgu o środku $O$ (zobacz rysunek). Odcinek $DB$...

Parami różne punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ leżą na okręgu. Odcinki $DE$ i $AC$ są równoległe, zaś odcinek...

Końce odcinka $AB$ o długości $9$ są środkami okręgów o promieniach $6$ i $4$ (zobacz rysunek). Punkt $C$ leży...

Dwa okręgi o promieniach $r$ i $R$ są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej w punktach $A$ i $B$...

Dane są dwa okręgi styczne wewnętrznie: okrąg $O_1$ o środku $S$ i promieniu równym $6$ oraz okrąg $O_2$ o środk...

Pole trójkąta $ABC$ równe jest $S$. Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku $x : y : x$, gdzie $x$ i $y$ są p...

Odcinki $AD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $C$. W trójkątach $ABC$ i $CDE$ zachodzą związki:...

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym przyprostokątna $AC$ ma długość $12$. Punkt $E$ jest środkiem prze...

Na rysunku przedstawiono trapez $ABCD$ oraz zaznaczono wysokości $DE$ i $CF$ tego trapezu. Punkt $F$ jest środki...

W trójkącie $ABC$ o bokach długości $|AC|=b$, $|BC|=a$ i kącie między nimi $60^\circ$ poprowadzono dwusieczną k...

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ taki, że kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ są proste oraz $|AB|=10$,...

Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na kwadracie, którego jeden z boków jest zawarty w prostej o równaniu...

Dwa boki trójkąta prostokątnego $ABC$ są zawarte w prostych o równaniach $y = 2x − 3$ oraz...

Różnica współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równa różnicy odwrotności tych współczynników. Uzasadnij, że te...

Punkty $A$ i $B$, których pierwsze współrzędne są równe odpowiednio $−2$ i $2$, należą do wykresu funkcji...

Prosta $l$ przecina okrąg o środku $S$ w punktach $A=\left(1-\sqrt{2},-\frac{1}{8}\right)$ i...

Dany jest sześciokąt foremny $ABCDEF$, którego środkiem symetrii jest punkt $O=(3,-\sqrt{3})$, a wierzchołek $A$ m...

Punkt $M=(2,1)$ jest środkiem boku $AB$, a punkt $N=(8,3)$ to środek boku $BC$ kwadratu $ABCD$. Oblicz długość...

Trójkąt o wierzchołkach $A=(-6,0)$, $B=(6,4)$ i $C=(-3,-8)$ przekształcono przez symetrię środkową względem począt...

Prosta $y = 0$ jest osią symetrii figury złożonej z dwóch prostych o równaniach $y=(p+2)x-q$ i $y=(q-5)x+2p$. Wyzn...

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$, niebędący równoległobokiem, w którym $AB||CD$ oraz $A=(-9,7)$, $B=(3,1)$,...

Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta o wierzchołkach $A=(6,0)$, $B=(0,4)$, $C=(0,0)$. Oznaczmy przez $P_{AC}$ obra...

Przedstawiona na rysunku bryła składa się z walca i półkuli. Wysokość walca jest taka, jak promień jego podstawy i jest...

Podstawą graniastosłupa prostego czworokątnego $ABCDEFGH$ jest kwadrat $ABCD$ (zobacz rysunek). Kąt $AHC$ między p...

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$, którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Punkty $G$,...

Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCDEF$ (zobacz rysunek) jest równa $8$, a tangens kąta między wys...

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym krawędź podstawy ma długość $4$, jest równa $16\sqrt{6}$...

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krótsza przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod...