Na rysunku są przedstawione fragmenty wykresów funkcji kwadratowych f i g. Funkcja f jest określona wzorem f(x)=-x²+6x-5, a mniejsze z jej miejsc zerowych jest jednocześnie miejscem zerowym funkcji g. Wierzchołek W paraboli, która jest wykresem funkcji f, leży na wykresie funkcji g, a wierzchołek Z paraboli będącej wykresem funkcji g leży na osi Oy układu współrzędnych. Wyznacz wzór funkcji g.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: g(x)=1/2(x-1)(x+1)
Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.
## Krok 1: Wyznacza się miejsca zerowe funkcji f
f(x) = -x² + 6x - 5 = 0
x² - 6x + 5 = 0
Δ= 36 - 20 = 16
x₁ = (6-4)/2 = 1, x₂ = (6+4)/2 = 5
Mniejsze miejsce zerowe: x = 1
## Krok 2: Wyznacza się wierzchołek W paraboli funkcji f
p = -b/(2a) = -6/(2 · (-1)) = 3
q = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4
Zatem W = (3, 4)
## Krok 3: Ustala się warunki dla funkcji g
Z treści zadania: - Funkcja g ma miejsce zerowe w punkcie x = 1 - Punkt W = (3, 4) leży na wykresie funkcji g - Wierzchołek Z paraboli funkcji g leży na osi Oy, czyli Z = (0, z₀)
## Krok 4: Zapisuje się wzór funkcji g w postaci kanonicznej
Skoro wierzchołek leży na osi Oy, to:
g(x) = a(x - 0)² + z₀ = ax² + z₀
## Krok 5: Wykorzystuje się warunek miejsca zerowego
g(1) = 0
a · 1 + z₀ = 0
z₀ = -a
Zatem: g(x) = ax² - a = a(x² - 1)
## Krok 6: Wykorzystuje się warunek przejścia przez punkt W = (3, 4)
g(3) = 4
a(9 - 1) = 4
8a = 4
a = 1/2
## Krok 7: Zapisuje się wzór funkcji g
g(x) = 1/2(x² - 1) = 1/2(x-1)(x+1)
## Weryfikacja: - g(1) = 1/2(0)(2) = 0 ✓ - g(3) = 1/2(2)(4) = 4 ✓ - Wierzchołek: Z = (0, -1/2) leży na osi Oy ✓
Odpowiedź: g(x) = 1/2(x-1)(x+1)
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.