Matura maj 2026 - rozwiązania zadań 14, 15 i 27 (najtrudniejsze otwarte)

Trzy zadania, które decydowały o wyniku matury maj 2026

Jeśli na maturze z matematyki 5 maja 2026 szło ci dobrze do pewnego momentu, a potem zacząłeś gubić punkty, to z dużym prawdopodobieństwem winowajcami były zadania 14, 15 i 27. To trzy najwyżej punktowane zadania otwarte w arkuszu (4 + 3 + 2 pkt = łącznie 9 punktów, czyli 18% wszystkich punktów do zdobycia).

W tym wpisie rozkładamy każde z nich na czynniki pierwsze. Pokazujemy nie tylko gotowy schemat, ale i typowe pułapki - czyli to, dlaczego maturzyści tracą punkty cząstkowe nawet wtedy, gdy ostatecznie wpadną na poprawny wynik.

Jeśli chcesz porównać swoje wyniki z resztą arkusza, zerknij na pełne rozwiązania matury maj 2026 albo otwórz arkusz w aplikacji.

Zadanie 14 (4 pkt) - funkcja kwadratowa z translacją wykresu

Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(3,-2)$. Funkcja kwadratowa $g$ jest określona wzorem $g(x)=f(x+1)$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0$. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej.

Schemat rozwiązania

To klasyczne zadanie, w którym kluczowym narzędziem jest postać kanoniczna funkcji kwadratowej. CKE celowo nie podaje współczynnika $a$, bo chce sprawdzić, czy umiesz go wyciągnąć z warunku ubocznego ($g(0)=0$).

Krok 1. Skoro $W=(3,-2)$, to:

$f(x)=a(x-3)^{2}-2$

Krok 2. Obliczamy $g(x)=f(x+1)$ - przesuwamy wykres $f$ o 1 jednostkę w lewo:

$g(x)=a\bigl((x+1)-3\bigr)^{2}-2=a(x-2)^{2}-2$

Krok 3. Z warunku $g(0)=0$:

$a\cdot(-2)^{2}-2=0\Rightarrow 4a=2\Rightarrow a=\tfrac{1}{2}$

Krok 4. Postać kanoniczna $f$, a następnie rozwinięcie do postaci ogólnej:

$f(x)=\tfrac{1}{2}(x-3)^{2}-2=\tfrac{1}{2}\bigl(x^{2}-6x+9\bigr)-2=\tfrac{1}{2}x^{2}-3x+\tfrac{5}{2}$

Najczęstsze błędy

• •Mylenie kierunku translacji - "podstawiamy $x+1$, więc przesuwamy w prawo". Nie. $f(x+1)$ przesuwa wykres w lewo o 1 jednostkę. Zapamiętaj to raz na zawsze.
• •Niewyliczenie $a$ - niektórzy zostawiają odpowiedź w postaci $f(x)=a(x-3)^{2}-2$ i tracą 2-3 punkty. Trzeba dojść do liczbowej wartości $a$.
• •Błąd przy rozwijaniu - po wymnożeniu $\tfrac{1}{2}\cdot 9=\tfrac{9}{2}$, a potem odjęcie $2$ daje $\tfrac{5}{2}$, nie $\tfrac{7}{2}$ ani $\tfrac{1}{2}$.

Pełne interaktywne rozwiązanie zadania 14 - przejdź przez każdy krok osobno.

> Jeśli pomyłki przy postaciach funkcji kwadratowej zdarzają ci się częściej niż raz na 5 arkuszy, zerknij do przewodnika funkcja kwadratowa na maturze - wzory, zadania i rozwiązania. Tam zebraliśmy 30+ zadań z arkuszy 2015-2025 z każdym typem postaci.

Zadanie 15 (3 pkt) - ciąg geometryczny ukryty w arytmetycznym

Treść

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3n+5$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Trzywyrazowy ciąg $(a_1, a_9, a_k)$ jest geometryczny. Oblicz $k$.

Schemat rozwiązania

Tu CKE łączy dwa działy - ciąg arytmetyczny (bo $a_n=3n+5$ to wzór ogólny ciągu arytmetycznego) i ciąg geometryczny (bo trójwyrazowy podciąg ma być geometryczny). Klucz to warunek na średnią geometryczną:

$\text{trzy liczby }(a,b,c)\text{ są geometryczne}\iff b^{2}=a\cdot c$

Krok 1. Wyliczamy $a_1$ i $a_9$ ze wzoru ciągu:

$a_1=3\cdot 1+5=8,\qquad a_9=3\cdot 9+5=32$

Krok 2. Stosujemy warunek geometryczności:

$a_9^{2}=a_1\cdot a_k\Rightarrow 1024=8\cdot a_k\Rightarrow a_k=128$

Krok 3. Wyznaczamy $k$ ze wzoru ciągu:

$3k+5=128\Rightarrow 3k=123\Rightarrow k=41$

Najczęstsze błędy

• •Mnożenie zamiast średniej geometrycznej - niektórzy zapisują $a_9=a_1\cdot q$, a potem podstawiają. Można i tak, ale wtedy musisz wyliczyć $q=4$, znaleźć $a_k=a_9\cdot q=128$ - i tu się zazwyczaj gubią, bo zapominają, że to ciąg geometryczny (a_1, a_9, a_k), a nie cały ciąg $(a_n)$. Bezpieczniej iść przez warunek $b^{2}=ac$.
• •Pomyłka w $a_9$ - zamiast 32 wpisują 33 (myląc z arytmetycznym wzorem). $3\cdot 9=27$, $27+5=32$.
• •Brak sprawdzenia, że $k$ jest naturalne - na maturze nie musisz tego pisać, ale warto się upewnić, że dostajesz całkowite $k$.

Pełne rozwiązanie zadania 15 - z dwiema alternatywnymi drogami: przez $b^{2}=ac$ i przez iloraz $q$.

> Więcej zadań z tej kategorii znajdziesz w pełnym przewodniku po ciągach. Mix arytmetyczno-geometryczny pojawia się w niemal każdym arkuszu, od 2015 wzwyż.

Zadanie 27 (2 pkt) - ostrosłup z nachyleniem krawędzi

Treść

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Schemat rozwiązania

W stereometrii rysunek to połowa sukcesu. Nawet schematyczny szkic z zaznaczonymi długościami pozwala uniknąć błędu typu "wziąłem całą przekątną zamiast jej połowy".

Krok 1. Bok kwadratu. Z własności kwadratu: $d=a\sqrt{2}$, stąd:

$a=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{6}$

Krok 2. Wysokość. Wierzchołek ostrosłupa prawidłowego leży dokładnie nad środkiem podstawy, w odległości $\tfrac{d}{2}=4\sqrt{3}$ od każdego wierzchołka kwadratu. Krawędź boczna, jej rzut na podstawę i wysokość tworzą trójkąt prostokątny z kątem $30^\circ$:

$\operatorname{tg}30^\circ=\frac{H}{4\sqrt{3}}\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}}\Rightarrow H=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=4$

Krok 3. Pole podstawy i objętość.

$P_p=a^{2}=(4\sqrt{6})^{2}=96$ $V=\tfrac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\tfrac{1}{3}\cdot 96\cdot 4=128$

Najczęstsze błędy

• •Branie całej przekątnej zamiast jej połowy - jeden z najczęstszych błędów w stereometrii. Krawędź boczna, jej rzut i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątna pozioma to połowa przekątnej, nie cała przekątna.
• •Pomylenie tg z sin - kąt nachylenia jest między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy. tg tego kąta = wysokość / rzut krawędzi.
• •Pomyłka w pierwiastku - $(4\sqrt{6})^{2}=16\cdot 6=96$, nie 24 ani 144.

Pełne rozwiązanie zadania 27 - z dokładnym rzutem ukośnym i każdym krokiem rozpisanym osobno.

> Więcej zadań z ostrosłupami i innymi bryłami znajdziesz w przewodniku stereometria na maturze - bryły, objętości, kąty. Zebraliśmy tam 40+ zadań z ostatnich 10 lat.

Co możesz zrobić, jeśli te zadania ci nie poszły

Jeśli pisałeś maturę 5 maja i pomyliłeś któreś z tych zadań - dobra wiadomość: to dział nauki, w którym trening prowadzi do automatyzmu. Funkcja kwadratowa z przesunięciem, ciąg geometryczny w arytmetycznym, ostrosłup z nachyleniem - to schematy. Po 15-20 podobnych zadaniach robisz je z zamkniętymi oczami.

Jeśli planujesz poprawkę w sierpniu, zacznij od:

1. 1.Przerobienia wszystkich 33 zadań arkusza maj 2026 - tu masz pełną listę: /exams/matura-maj-2026
2. 2.Powtórki kategorii, w których tracisz najwięcej punktów - aplikacja pokazuje statystyki w /progress
3. 3.Rozwiązania 5-7 starszych arkuszy, np. maj 2025, maj 2024, maj 2023

Jeśli celujesz w lepszy wynik na maturze poprawkowej (lub w 2027), warto regularnie korzystać z progresji w aplikacji i symulować pełne arkusze na czas w symulatorze matury.

Następny krok Losuj kolejne zadanie