Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 8√(3). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V = 128
Krok 1. Bok podstawy.
Podstawą jest kwadrat o przekątnej d=a√(2). Stąd:
a=d/√(2)=8√(3)/√(2)=8√(3) · √(2)/2=4√(6)
Krok 2. Wysokość ostrosłupa.
Wierzchołek ostrosłupa leży nad środkiem przekątnej. Połowa przekątnej to odcinek od środka podstawy do wierzchołka kwadratu:
d/2=4√(3)
Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę 30°. Z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnej d/2 i wysokości H:
tg30°=H/(d/2)=H/(4√(3))
√(3)/3=H/(4√(3)) ⇒ H=4√(3) · √(3)/3=4 · 3/3=4
Krok 3. Objętość.
Pole podstawy:
P_p=a²=(4√(6))²=16 · 6=96
Objętość ostrosłupa:
V=1/3 · P_p · H=1/3 · 96 · 4=128
Odpowiedź: V=128.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.