Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 8√(3). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Bok podstawy.

Podstawą jest kwadrat o przekątnej

d=a\sqrt{2}

. Stąd:

a=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{6}

Krok 2. Wysokość ostrosłupa.

Wierzchołek ostrosłupa leży nad środkiem przekątnej. Połowa przekątnej to odcinek od środka podstawy do wierzchołka kwadratu:

\tfrac{d}{2}=4\sqrt{3}

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę

30^\circ

. Z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnej

\tfrac{d}{2}

i wysokości

H

\operatorname{tg}30^\circ=\frac{H}{\tfrac{d}{2}}=\frac{H}{4\sqrt{3}}

\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}}\quad\Rightarrow\quad H=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\cdot 3}{3}=4

Krok 3. Objętość.

Pole podstawy:

P_p=a^{2}=(4\sqrt{6})^{2}=16\cdot 6=96

Objętość ostrosłupa:

V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 96\cdot 4=128

Odpowiedź:

V=128