Dany jest trójkąt KLM, w którym KM=a oraz LM=b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N. Wykaż, że stosunek pola trójkąta KNM do pola trójkąta NLM jest równy ab.

Rozwiązanie

Krok 1. Wspólna wysokość trójkątów $KNM$ i $NLM$ .

Trójkąty

KNM

oraz

NLM

mają wspólny wierzchołek

M

, a ich podstawy

KN

NL

leżą na tej samej prostej (na boku

KL

). Zatem mają tę samą wysokość

h

opuszczoną z wierzchołka

M

na prostą

KL

Stąd:

\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\tfrac{1}{2}\cdot|KN|\cdot h}{\tfrac{1}{2}\cdot|NL|\cdot h}=\frac{|KN|}{|NL|}

Krok 2. Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego.

Dwusieczna kąta

\angle LMK

wychodząca z wierzchołka

M

dzieli przeciwległy bok

KL

w stosunku boków przyległych:

\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|}=\frac{a}{b}

Krok 3. Wniosek.

Łącząc oba kroki:

\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{a}{b}\qquad\blacksquare