Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM|=a oraz |LM|=b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N. Wykaż, że stosunek pola trójkąta KNM do pola trójkąta NLM jest równy a/b.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód oparty na wspólnej wysokości i twierdzeniu o dwusiecznej.
## Dowód
Krok 1. Wspólna wysokość trójkątów KNM i NLM.
Trójkąty KNM oraz NLM mają wspólny wierzchołek M, a ich podstawy KN i NL leżą na tej samej prostej (na boku KL). Zatem mają tę samą wysokość h opuszczoną z wierzchołka M na prostą KL.
Stąd:
P_(KNM)/P_(NLM)=1/2 · |KN| · h/(1/2 · |NL| · h)=|KN|/|NL|
Krok 2. Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego.
Dwusieczna kąta ∠LMK wychodząca z wierzchołka M dzieli przeciwległy bok KL w stosunku boków przyległych:
|KN|/|NL|=|KM|/|LM|=a/b
Krok 3. Wniosek.
Łącząc oba kroki:
P_(KNM)/P_(NLM)=|KN|/|NL|=a/b
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.