Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^2+21n\) jest podzielna przez 14.

Dowód: 7n²+21n = 7n(n+3) = 14k.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n²+21n jest podzielna przez 14.

Rozwiązanie

Dowód

Wyłączamy wspólny czynnik:

7n^{2}+21n=7n(n+3)

Wystarczy wykazać, że

n(n+3)

jest liczbą parzystą dla każdej liczby całkowitej

n

. Rozważamy dwa przypadki ze względu na parzystość

n

Przypadek 1.

n

jest parzyste, czyli

n=2k

dla pewnej liczby całkowitej

k

. Wtedy:

n(n+3)=2k\cdot(2k+3)=2\cdot k(2k+3)

co jest liczbą parzystą.

Przypadek 2.

n

jest nieparzyste, czyli

n=2k+1

. Wtedy

n+3=2k+4=2(k+2)

, więc:

n(n+3)=(2k+1)\cdot 2(k+2)=2\cdot(2k+1)(k+2)

co również jest liczbą parzystą.

W obu przypadkach istnieje liczba całkowita

m

taka, że

n(n+3)=2m

. Zatem:

7n^{2}+21n=7\cdot 2m=14m

co dowodzi, że liczba

7n^{2}+21n

jest podzielna przez 14 dla każdej liczby całkowitej

n

\blacksquare

Rozwiązanie

Dowód

Wyłączamy wspólny czynnik:

7n^{2}+21n=7n(n+3)

Wystarczy wykazać, że

n(n+3)

jest liczbą parzystą dla każdej liczby całkowitej

n

. Rozważamy dwa przypadki ze względu na parzystość

n

Przypadek 1.

n

jest parzyste, czyli

n=2k

dla pewnej liczby całkowitej

k

. Wtedy:

n(n+3)=2k\cdot(2k+3)=2\cdot k(2k+3)

co jest liczbą parzystą.

Przypadek 2.

n

jest nieparzyste, czyli

n=2k+1

. Wtedy

n+3=2k+4=2(k+2)

, więc:

n(n+3)=(2k+1)\cdot 2(k+2)=2\cdot(2k+1)(k+2)

co również jest liczbą parzystą.

W obu przypadkach istnieje liczba całkowita

m

taka, że

n(n+3)=2m

. Zatem:

7n^{2}+21n=7\cdot 2m=14m

co dowodzi, że liczba

7n^{2}+21n

jest podzielna przez 14 dla każdej liczby całkowitej

n

\blacksquare

Zadanie 7 - Matura maj 2026

Rozwiązanie

Dowód

Powiązane artykuły

Zadanie 7 - Matura maj 2026

Rozwiązanie

Dowód

Powiązane artykuły