Błąd bezwzględny i błąd względny - wzory i zadania maturalne krok po kroku

Błąd bezwzględny przybliżenia to wartość bezwzględna różnicy między wartością dokładną $x$ a przybliżeniem $x_0$: $\Delta = |x - x_0|$. Błąd względny to iloraz błędu bezwzględnego przez wartość bezwzględną wartości dokładnej: $\delta = \frac{|x - x_0|}{|x|}$ dla $x \neq 0$, najczęściej wyrażany w procentach. Przykład: dla $x = 2{,}5$ i przybliżenia $x_0 = 2$ błąd bezwzględny wynosi $0{,}5$, a błąd względny $\frac{0{,}5}{2{,}5} = 0{,}2$, czyli $20\%$.

Ten temat pochodzi z działu liczby rzeczywiste i na maturze podstawowej pojawia się w najprzyjemniejszej możliwej formie: krótkiego zadania zamkniętego, w którym cały rachunek to jedno odejmowanie i jedno dzielenie. Mimo to co roku część zdających go oddaje, bo dzieli przez złą liczbę albo myli oba błędy ze sobą. W tym wpisie masz komplet: oba wzory z wyjaśnieniem, zasady zaokrąglania i 5 zadań w stylu CKE rozwiązanych krok po kroku. A gdy zechcesz poćwiczyć, w naszej bazie znajdziesz 74 zadania maturalne z liczb rzeczywistych z pełnymi rozwiązaniami.

Wzory na błąd bezwzględny i błąd względny

Błąd bezwzględny mierzy, o ile przybliżenie różni się od wartości dokładnej, i liczysz go ze wzoru $\Delta = |x - x_0|$, gdzie $x$ to wartość dokładna, a $x_0$ to przybliżenie. Błąd względny mierzy, jak duża jest ta pomyłka w porównaniu z samą wartością, i liczysz go ze wzoru $\delta = \frac{|x - x_0|}{|x|}$, a wynik często zamieniasz na procenty.

$\Delta = |x - x_0| \qquad \qquad \delta = \frac{|x - x_0|}{|x|} = \frac{\Delta}{|x|}$

Dwie rzeczy, które warto rozumieć, a nie tylko pamiętać:

• •Błąd bezwzględny ma jednostkę. Jeśli mierzysz długość w centymetrach, błąd bezwzględny też wychodzi w centymetrach. To po prostu odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej.
• •Błąd względny jest bez jednostki. To ułamek (albo procent), który mówi, jaką częścią wartości dokładnej jest pomyłka. Dzięki temu da się porównywać dokładność przybliżeń zupełnie różnych wielkości.

Po co w ogóle błąd względny? Pomyłka o 1 cm przy mierzeniu ołówka to ogromny błąd, a przy mierzeniu boiska to drobiazg bez znaczenia. Błąd bezwzględny w obu sytuacjach jest taki sam, ale błąd względny natychmiast pokazuje różnicę. Dokładnie to sprawdza zadanie 5 niżej.

Wartość bezwzględna w obu wzorach gwarantuje, że błąd nigdy nie wyjdzie ujemny, niezależnie od tego, czy przybliżenie jest większe, czy mniejsze od wartości dokładnej. Jeśli chcesz odświeżyć własności modułu, zajrzyj do wpisu o wartości bezwzględnej na maturze.

Zaokrąglanie liczb - szybkie przypomnienie

Przy zaokrąglaniu patrzysz wyłącznie na pierwszą odrzucaną cyfrę: jeśli to 0, 1, 2, 3 lub 4, zaokrąglasz w dół (ostatnia zostawiana cyfra nie zmienia się), a jeśli to 5, 6, 7, 8 lub 9, zaokrąglasz w górę (ostatnia zostawiana cyfra rośnie o 1). Nie patrzysz na dalsze cyfry, tylko na tę jedną, pierwszą odrzucaną.

Przykład: $3{,}472$ po zaokrągleniu do części dziesiątych to $3{,}5$, bo pierwszą odrzucaną cyfrą jest 7. Po zaokrągleniu do części setnych to $3{,}47$, bo pierwszą odrzucaną cyfrą jest 2.

Dwa pojęcia, które CKE lubi wplatać w treść zadania:

• •Przybliżenie z niedomiarem to przybliżenie mniejsze od wartości dokładnej, np. $3{,}4$ dla liczby $3{,}472$.
• •Przybliżenie z nadmiarem to przybliżenie większe od wartości dokładnej, np. $3{,}5$ dla liczby $3{,}472$.

Zadanie 1: Zaokrąglij i oblicz błąd bezwzględny

Treść: Liczbę $x = 3{,}472$ zaokrąglono do części dziesiątych. Oblicz błąd bezwzględny tego przybliżenia.

Krok 1: Wykonaj zaokrąglenie. Pierwsza odrzucana cyfra to 7, więc zaokrąglamy w górę: $x_0 = 3{,}5$.

Krok 2: Zastosuj wzór na błąd bezwzględny. $\Delta = |x - x_0| = |3{,}472 - 3{,}5| = |-0{,}028| = 0{,}028$.

Odpowiedź: Błąd bezwzględny wynosi $0{,}028$.

Zauważ, że różnica w środku modułu wyszła ujemna, bo przybliżenie jest z nadmiarem. Wartość bezwzględna załatwia sprawę: błąd to zawsze odległość, więc jest nieujemny.

Zadanie 2: Błąd względny w procentach

Treść: Liczbę $\frac{3}{8}$ przybliżono liczbą $0{,}4$. Oblicz błąd względny tego przybliżenia i wyraź go w procentach.

Krok 1: Zamień ułamek na postać dziesiętną. $\frac{3}{8} = 0{,}375$.

Krok 2: Oblicz błąd bezwzględny. $\Delta = |0{,}375 - 0{,}4| = 0{,}025$.

Krok 3: Podziel przez wartość dokładną. $\delta = \frac{0{,}025}{0{,}375} = \frac{25}{375} = \frac{1}{15} \approx 0{,}0667$.

Krok 4: Zamień na procenty. $\delta \approx 6{,}7\%$.

Odpowiedź: Błąd względny wynosi $\frac{1}{15}$, czyli około $6{,}7\%$.

Kluczowy moment to krok 3: dzielisz przez wartość dokładną $0{,}375$, a nie przez przybliżenie $0{,}4$. Przy zamianie na procenty przyda ci się sprawne liczenie procentu z liczby.

Zadanie 3: Pomiar i błąd względny

Treść: Dokładna wartość pewnej wielkości wynosi 60. W pomiarze otrzymano wynik $59{,}7$. Oblicz błąd bezwzględny i błąd względny tego pomiaru.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Oblicz błąd bezwzględny

   $\Delta = |60 - 59{,}7| = 0{,}3$.

2. Krok 2

   Oblicz błąd względny

   $\delta = \frac{0{,}3}{60} = 0{,}005$.

3. Krok 3

   Wyraź wynik w procentach

   $0{,}005 = 0{,}5\%$.

Odpowiedź:

Błąd bezwzględny wynosi $0{,}3$, a błąd względny $0{,}5\%$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 4: Odtwórz wartość dokładną

Treść: Liczba $x_0 = 4{,}9$ jest przybliżeniem z niedomiarem liczby $x$, a błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $0{,}1$. Wyznacz $x$ i oblicz błąd względny przybliżenia.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Wykorzystaj informację o niedomiarze

   Przybliżenie z niedomiarem jest mniejsze od wartości dokładnej, więc $x = x_0 + \Delta = 4{,}9 + 0{,}1 = 5$.

2. Krok 2

   Oblicz błąd względny

   $\delta = \frac{0{,}1}{5} = 0{,}02 = 2\%$.

Odpowiedź:

Wartość dokładna to $x = 5$, a błąd względny wynosi $2\%$.

Gdyby przybliżenie było z nadmiarem, w kroku 1 należałoby odjąć: $x = x_0 - \Delta$. Kierunek zależy wyłącznie od tego, czy przybliżenie jest mniejsze, czy większe od wartości dokładnej.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 5: Które przybliżenie jest dokładniejsze

Treść: Liczbę 8 przybliżono liczbą $8{,}2$, a liczbę 50 przybliżono liczbą 49. Które przybliżenie ma mniejszy błąd względny?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Oblicz oba błędy bezwzględne

   Pierwsze przybliżenie: $\Delta_1 = |8 - 8{,}2| = 0{,}2$. Drugie: $\Delta_2 = |50 - 49| = 1$.

2. Krok 2

   Oblicz oba błędy względne

   $\delta_1 = \frac{0{,}2}{8} = 0{,}025 = 2{,}5\%$ oraz $\delta_2 = \frac{1}{50} = 0{,}02 = 2\%$.

3. Krok 3

   Porównaj

   $2\% < 2{,}5\%$.

Odpowiedź:

Mniejszy błąd względny ma przybliżenie liczby 50 liczbą 49, mimo że jego błąd bezwzględny jest pięć razy większy.

To najważniejszy wniosek z całego tematu: o jakości przybliżenia decyduje błąd względny, a nie bezwzględny. Właśnie dlatego oba pojęcia istnieją obok siebie i dlatego CKE lubi je zestawiać w jednym zadaniu.

Wylosuj podobne zadanie

Typowe pułapki

• •Dzielenie przez przybliżenie zamiast przez wartość dokładną. W mianowniku błędu względnego stoi $|x|$, czyli wartość dokładna. To najczęstszy błąd w tym typie zadań i dokładnie na niego zastawione są błędne odpowiedzi w zadaniach zamkniętych.
• •Ujemny błąd. Jeśli po odejmowaniu wyszła ci liczba ujemna, brakuje wartości bezwzględnej. Błąd bezwzględny i względny są zawsze nieujemne.
• •Ułamek kontra procent. $0{,}02$ i $2\%$ to ta sama liczba w dwóch zapisach. Zanim zaznaczysz odpowiedź, sprawdź, w jakiej formie podano opcje w zadaniu.
• •Zaokrąglanie po kilku cyfrach naraz. Patrzysz tylko na pierwszą odrzucaną cyfrę. Zaokrąglanie krokowe (najpierw do setnych, potem do dziesiątych) potrafi dać inny, błędny wynik.
• •Mylenie niedomiaru z nadmiarem. Niedomiar to przybliżenie mniejsze od wartości dokładnej, nadmiar to większe. Od tego zależy, czy wartość dokładną odtwarzasz przez dodanie, czy odjęcie błędu.

Najczęstsze pytania

Checklista: co musisz umieć

Błąd bezwzględny i względny to jedno z najprostszych do opanowania wymagań z działu liczby rzeczywiste i pewny kandydat na szybki punkt, podobnie jak inne zadania za 1 punkt na maturze. Przećwicz temat na zadaniach CKE z liczb rzeczywistych, a wrócisz po swoje punkty w kilkanaście sekund.

Następny krok Losuj kolejne zadanie