Zadania na wspólną pracę i wydajność na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku

Zadanie o wspólnej pracy tłumaczysz na równanie w trzech ruchach: całą pracę oznaczasz jako $1$, wydajność każdego wykonawcy zapisujesz jako $1$ podzielone przez jego czas, czyli część pracy wykonaną w ciągu godziny, a wydajności osób pracujących razem dodajesz. Jeśli pierwszy wykonałby pracę sam w $a$ godzin, drugi w $b$ godzin, a razem robią ją w $t$ godzin, to $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}$. Gdy w zadaniu zmienia się tylko liczba jednakowych robotników albo maszyn, równanie jest jeszcze prostsze: iloczyn liczby pracowników i czasu jest stały, a liczba wyprodukowanych sztuk rośnie wprost proporcjonalnie do liczby maszyn i godzin.

Na maturze podstawowej ten typ zadania występuje w dwóch wagach. Za $1$ punkt, jako zadanie zamknięte, w którym liczysz wprost: w arkuszu z sierpnia 2022 (zadanie 15) trzy maszyny robiły $1200$ guzików w dwie godziny, a pytanie brzmiało, ile zrobi pięć maszyn w godzinę. I za $5$ punktów, jako zadanie otwarte z równaniem, czasem kwadratowym: w arkuszu próbnym z lutego 2014 (zadanie 34) dwóch robotników o różnych kwalifikacjach kończy pracę razem w $12$ dni, a w zbiorze zadań CKE 2015-2023 (zadanie 24) dwie pompy o wydajnościach różniących się o $20\%$ napełniają basen. Te zadania są bliźniakami zadań z prędkością, drogą i czasem: tam dodajesz drogi, tu dodajesz części pracy. Poniżej masz trzy modele, jeden schemat i pięć zadań z arkuszy rozwiązanych krok po kroku.

Trzy modele zadań o pracy i wydajności

Zadanie o pracy rozpoznajesz po tym, co się w nim zmienia. Jeśli zmienia się liczba jednakowych pracowników, a pytanie dotyczy czasu, masz proporcjonalność odwrotną. Jeśli zmienia się liczba maszyn i czas, a pytanie dotyczy liczby sztuk, masz proporcjonalność prostą z wydajnością na jedną maszynę. Jeśli wykonawcy różnią się tempem i pracują razem, masz pracę wspólną i ułamki.

Model 1: więcej ludzi, mniej czasu (proporcjonalność odwrotna). Czterech malarzy maluje halę w $6$ godzin, czyli razem przepracowują $24$ roboczogodziny. Ta liczba to rozmiar pracy i nie zmienia się, gdy zmienia się liczba malarzy. Sześciu malarzy potrzebuje więc $24 : 6 = 4$ godzin. Iloczyn liczby pracowników i czasu jest stały: $n_1 \cdot t_1 = n_2 \cdot t_2$. To dokładnie proporcjonalność odwrotna, więc zwykła proporcja „na krzyż” daje tu zły wynik, i to w złą stronę: więcej ludzi wychodzi w niej na dłużej.

Model 2: maszyny razy godziny (proporcjonalność prosta). Trzy maszyny w dwie godziny to $3 \cdot 2 = 6$ maszynogodzin. Jeśli w tym czasie powstało $1200$ guzików, jedna maszyna robi $1200 : 6 = 200$ guzików na godzinę. Dalej wszystko jest mnożeniem: pięć maszyn przez godzinę zrobi $5 \cdot 200 \cdot 1 = 1000$ sztuk. Liczba sztuk jest wprost proporcjonalna i do liczby maszyn, i do czasu.

Model 3: praca wspólna (ułamki pracy na godzinę). Wykonawcy różnią się tempem, więc nie policzysz ich „na sztuki”. Zamiast tego pytasz, jaką część całej pracy każdy robi w godzinę. Kto robi pracę w $6$ godzin, w godzinę robi $\frac{1}{6}$ pracy. Kto robi ją w $12$ godzin, w godzinę robi $\frac{1}{12}$. Razem w godzinę robią $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$ pracy, więc całość zajmie im $4$ godziny. Ten model prowadzi do równania wymiernego, a gdy niewiadoma stoi w dwóch mianownikach, do równania kwadratowego.

Dlaczego dodajemy wydajności, a nie czasy

Wydajności się dodają, bo w tej samej godzinie każdy wykonawca dokłada swoją część pracy i te części sumują się do wspólnego postępu. Czasy się nie dodają: dwie osoby pracujące razem kończą szybciej niż każda z osobna, a suma czasów byłaby dłuższa niż czas wolniejszej z nich. Dlatego niewiadomą jest czas, ale równanie układasz na wydajnościach.

Zobacz to na liczbach. Adam grabi boisko w $6$ godzin, Czarek w $12$. Dodanie czasów daje $18$ godzin, średnia daje $9$, a przecież razem muszą skończyć szybciej niż sam Adam, czyli poniżej $6$ godzin. Poprawny rachunek idzie przez części pracy na godzinę:

$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

W godzinę robią $\frac{1}{4}$ pracy, więc całość zajmuje $4$ godziny. Zapisz to ogólnie. Jeśli pierwszy wykonawca robi pracę w $a$ godzin, drugi w $b$ godzin, a razem w $t$ godzin, to w jednej godzinie pierwszy robi $\frac{1}{a}$, drugi $\frac{1}{b}$, a obaj razem $\frac{1}{t}$ pracy:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}$

Ten sam warunek możesz zapisać jako $t \cdot \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 1$: przez $t$ godzin pracy z łączną wydajnością powstaje cała praca, czyli $1$. Obie formy są równoważne. Druga bywa wygodniejsza, gdy znasz czas wspólny, a szukasz czasów pojedynczych.

Jak ułożyć równanie do zadania o wspólnej pracy

Oznacz niewiadomą jako czas jednej osoby (albo pompy, maszyny), zapisz wydajność każdego wykonawcy jako $1$ podzielone przez jego czas, a potem zapisz zdanie z treści jako równanie na tych wydajnościach albo czasach. Rozwiąż je, odrzuć rozwiązania spoza dziedziny i wróć do pytania, bo odpowiedzią rzadko jest sama niewiadoma.

Schemat w sześciu krokach:

1. 1.Ujednolić jednostki. Minuty na godziny, godziny na dni, zanim cokolwiek podstawisz: $6$ godzin $20$ minut to $6 + \frac{20}{60} = \frac{19}{3}$ godziny, a $1$ godzina $40$ minut to $\frac{5}{3}$ godziny.
2. 2.Oznaczyć niewiadomą jako czas. Najczęściej czas wolniejszego wykonawcy: $x$ dni. Szybszy dostaje wtedy $x - 10$, gdy „jest szybszy o $10$ dni”, albo $\frac{x}{1{,}2}$, gdy „ma wydajność o $20\%$ większą”.
3. 3.Zapisać wydajności. Cała praca to $1$, więc wydajności to $\frac{1}{x}$ i $\frac{1}{x-10}$. Zapisz dziedzinę: czasy są dodatnie, więc $x > 10$.
4. 4.Przetłumaczyć zdanie z treści na równanie. „Razem wykonali pracę w $12$ dni” to $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{12}$. „Napełnianie drugą pompą trwa o $\frac{5}{3}$ godziny dłużej” to równanie na czasach: $t_2 = t_1 + \frac{5}{3}$.
5. 5.Rozwiązać. Wspólny mianownik, mnożenie na krzyż, równanie kwadratowe. Pierwiastek ujemny albo taki, dla którego któryś czas wychodzi ujemny, odrzucasz z komentarzem.
6. 6.Wrócić do pytania. Sprawdź, czy pytają o czas wspólny, czas każdego z osobna, czy o część pracy na godzinę, i podaj wynik w jednostce z treści (godziny i minuty, nie ułamek godziny).

Ten schemat to szczególny przypadek metody z wpisu o zadaniach z treścią: najpierw tłumaczysz język na symbole, dopiero potem liczysz.

Wzory

Ostatni wzór to przekształcone równanie pracy wspólnej, więc nie musisz go zapamiętywać. Dla trzech wykonawców dodajesz trzeci ułamek: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{t}$. Żadnego z tych wzorów nie ma w tablicach maturalnych, bo wynikają wprost z definicji wydajności.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Zacznij od zadania o ekipie wymieniającej tory kolejowe (matura próbna grudzień 2014, zadanie 11): znów działa proporcjonalność odwrotna, tym razem z pytaniem o liczbę dodatkowych osób. Dwa kolejne to krótkie zadania zamknięte z tego samego działu, o liczeniu liczb o zadanych cyfrach, nie o pracy: potraktuj je jako rozgrzewkę na jeden punkt. Niżej stoją też trzy zadania otwarte z przykładów, żebyś mógł rozwiązać je jeszcze raz od zera na ich własnych stronach. Więcej zadań znajdziesz w dziale Liczby rzeczywiste, a cały arkusz z przykładu 2 na stronie matury z sierpnia 2022.

• Matura próbna grudzień 2014Zadanie 111 pkt
  Ekipa złożona z $25$ pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu $156$ dni. Jeśli wymianę torów kolejowych na kolejnym odcinku o tej samej długości trzeba przeprowadzić w ciągu $100$ dni, to, przy założeniu takiej samej wydajności, należy zatrudnić do pracy o
• Matura sierpień 2022Zadanie 271 pkt
  Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od $300$ o wszystkich cyfrach parzystych jest
• Matura maj 2022Zadanie 271 pkt
  Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez $5$ jest
• Matura próbna luty 2014Zadanie 345 pkt
  Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o $10$ dni od pracownika niewykwalifikowanego. Aby pracę wykonać szybciej, powierzono ją obu robotnikom, którzy pracując razem, wykonali ją w ciągu $12$ dni. W ciągu ilu dni wykonałby pracę każdy robotnik pracując samodzielnie?
• CKE 2015-2023 PPZadanie 24Procenty5 pkt
  Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o $20\%$ większą niż druga. Napełnienie pustego basenu tylko drugą pompą trwa o $1$ godzinę i $40$ minut dłużej niż przy użyciu tylko pierwszej pompy. Oblicz, jaką część pustego basenu napełnią w ciągu jednej godziny obie pompy, pracując jednocześnie.
• Matura próbna kwiecień 2020Zadanie 33Procenty5 pkt
  Adam, Bartek i Czarek mają za zadanie zgrabić liście z boiska. Adam sam wykonałby całą pracę w $6$ godzin, Bartek w $8$ godzin, a Czarek w $12$ godzin. Gdyby pracowali razem, to wydajność każdego z nich byłaby o $33,(3)\%$ większa. Ile czasu zajmie zgrabienie całego boiska wszystkim trzem chłopakom, jeśli będą pracowali razem?

Następny krok Losuj kolejne zadanie z liczb rzeczywistych

Najczęstsze pytania o zadania na wspólną pracę