Proporcjonalność odwrotna - wzór, wykres hiperboli i zadania maturalne

Proporcjonalność odwrotna to zależność między dwiema wielkościami $x$ i $y$, w której iloczyn $x \cdot y$ jest stały: $x \cdot y = a$, czyli $y = \frac{a}{x}$ dla pewnej liczby $a \neq 0$. Gdy jedna wielkość rośnie 2 razy, druga maleje dokładnie 2 razy. Wykresem funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ jest hiperbola złożona z dwóch gałęzi, a liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Na maturze podstawowej ten temat wraca w najprostszej możliwej formie: dostajesz tabelkę z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi i masz znaleźć brakującą liczbę. Dokładnie takie zadania pojawiły się na maturze w sierpniu 2020 (zadanie 20) oraz na maturze próbnej CKE z marca 2026 (zadanie 16). Oba rozwiązujemy niżej krok po kroku, a po drodze ogarniesz wzór, wykres i własności funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$, które CKE lubi sprawdzać w zadaniach zamkniętych.

Co to jest proporcjonalność odwrotna - definicja i wzór

Dwie wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały i różny od zera: $x \cdot y = a$. Równoważnie: $y = \frac{a}{x}$. Liczba $a$ to współczynnik proporcjonalności odwrotnej. Im większe $x$, tym mniejsze $y$, i to nie "jakoś tam" mniejsze, tylko dokładnie w tej samej skali: podwojenie jednej wielkości oznacza zmniejszenie drugiej o połowę.

Najłatwiej to poczuć na przykładach z życia:

• •Prędkość i czas. Masz do przejechania 120 km. Przy prędkości 60 km/h jedziesz 2 godziny, przy 120 km/h tylko godzinę. Iloczyn $v \cdot t = 120$ jest stały, więc prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.
• •Liczba maszyn i czas pracy. Jeśli 2 maszyny pakują zamówienie w 12 godzin, to 4 takie same maszyny zrobią to w 6 godzin. Iloczyn liczby maszyn i czasu jest stały.
• •Składka na wspólny prezent. Prezent kosztuje 600 zł. Przy 10 osobach każdy płaci 60 zł, przy 20 osobach już tylko 30 zł.

Wspólny mianownik: w każdej z tych sytuacji "całość" (droga, praca do wykonania, koszt) jest stała, a dwie wielkości dzielą się nią między sobą.

Jak rozpoznać proporcjonalność odwrotną w tabelce

Mnożysz liczby w każdej kolumnie tabelki. Jeśli wszystkie iloczyny $x \cdot y$ wychodzą takie same, wielkości są odwrotnie proporcjonalne, a wspólny iloczyn to współczynnik $a$. Jeśli natomiast stały jest iloraz $\frac{y}{x}$, masz do czynienia z proporcjonalnością prostą, czyli zupełnie inną zależnością.

Przykład. Sprawdźmy tabelkę:

Liczymy iloczyny: $2 \cdot 20 = 40$, $4 \cdot 10 = 40$, $10 \cdot 4 = 40$. Wszystkie równe, więc $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, a $a = 40$. Wzór zależności: $y = \frac{40}{x}$.

Ta jedna metoda (stały iloczyn) wystarcza do rozwiązania praktycznie każdego maturalnego zadania z tabelką. Zobaczysz to w zadaniach 1 i 2 niżej.

Wykres proporcjonalności odwrotnej, czyli hiperbola

Wykresem funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ jest hiperbola, czyli krzywa złożona z dwóch osobnych gałęzi, które nigdy nie dotykają osi układu współrzędnych. Dla $a > 0$ gałęzie leżą w I i III ćwiartce, dla $a < 0$ w II i IV ćwiartce.

Najważniejsze własności funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$:

• •Dziedzina: $x \neq 0$, czyli wszystkie liczby rzeczywiste poza zerem. Przez zero nie wolno dzielić. Jeśli chcesz przećwiczyć ten temat szerzej, zobacz jak wyznaczyć dziedzinę funkcji.
• •Zbiór wartości: $y \neq 0$. Hiperbola nigdy nie przecina osi $OX$ ani $OY$.
• •Monotoniczność: dla $a > 0$ funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0)$ i malejąca w przedziale $(0, +\infty)$, ale NIE jest malejąca na całej dziedzinie (dlaczego, wyjaśniam w pułapkach). Dla $a < 0$ analogicznie: rosnąca w każdym z tych przedziałów osobno.
• •Nieparzystość: $f(-x) = -f(x)$, więc wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
• •Asymptoty: osie układu. Im większy argument, tym wykres jest bliżej osi $OX$, ale nigdy jej nie dotyka.

Jeśli w zadaniu pojawia się funkcja typu $f(x) = \frac{a}{x} + q$ albo $f(x) = \frac{a}{x-p}$, to jest to zwykłe przesunięcie hiperboli o wektor. Działa dokładnie tak samo jak przy innych funkcjach, co rozpisaliśmy w poście o przekształceniach wykresów funkcji.

Proporcjonalność prosta a odwrotna - czym się różnią

Proporcjonalność prosta to zależność $y = a \cdot x$: obie wielkości rosną razem, a stały jest ich iloraz. Proporcjonalność odwrotna to $y = \frac{a}{x}$: jedna wielkość rośnie, druga maleje, a stały jest iloczyn. Na maturze najczęściej musisz po prostu rozpoznać, z którą zależnością masz do czynienia.

Test na rozpoznanie: zadaj sobie pytanie, czy podwojenie jednej wielkości podwaja drugą (prosta), czy zmniejsza ją o połowę (odwrotna).

Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku

Zadanie 1: tabelka z dwiema niewiadomymi (Matura sierpień 2020, zadanie 20)

Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne:

Wskaż $a$ i $b$.

Krok 1: znajdź współczynnik proporcjonalności. Bierzesz kolumnę, w której znasz obie liczby: $x = 3$, $y = 24$. Iloczyn: $3 \cdot 24 = 72$. Tyle wynosi $x \cdot y$ w całej tabelce.

Krok 2: oblicz a. W pierwszej kolumnie $a \cdot 36 = 72$, więc $a = \frac{72}{36} = 2$.

Krok 3: oblicz b. W trzeciej kolumnie $8 \cdot b = 72$, więc $b = \frac{72}{8} = 9$.

Odpowiedź: $a = 2$, $b = 9$ (na maturze była to odpowiedź D). Możesz przećwiczyć to zadanie w naszej bazie.

Zadanie 2: tabelka z matury próbnej (Matura próbna CKE marzec 2026, zadanie 16)

Wielkości $x$ oraz $y$ są odwrotnie proporcjonalne:

Oblicz $a$.

Krok 1: znajdź stały iloczyn. Z pełnej kolumny: $18 \cdot 9 = 162$.

Krok 2: ułóż równanie dla drugiej kolumny. $24 \cdot a = 162$.

Krok 3: rozwiąż. $a = \frac{162}{24} = 6{,}75$.

Odpowiedź: $a = 6{,}75$ (odpowiedź B). Zwróć uwagę na pułapkę w dystraktorach: liczba 12 kusiła każdego, kto policzył proporcjonalność prostą, bo $\frac{24 \cdot 9}{18} = 12$. To zadanie znajdziesz też w bazie razem z resztą arkusza.

Zadanie 3: wyznaczanie wzoru funkcji z punktu na wykresie

Wykres funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ przechodzi przez punkt $P = (4, 3)$. Wyznacz wzór funkcji i sprawdź, czy punkt $Q = (-2, -6)$ należy do tego wykresu.

Krok 1: podstaw współrzędne punktu P do wzoru. Skoro $P$ leży na wykresie, to $f(4) = 3$, czyli $\frac{a}{4} = 3$.

Krok 2: oblicz a. $a = 3 \cdot 4 = 12$, więc $f(x) = \frac{12}{x}$.

Krok 3: sprawdź punkt Q. $f(-2) = \frac{12}{-2} = -6$. Wynik zgadza się z drugą współrzędną punktu $Q$, więc $Q$ należy do wykresu i leży na gałęzi w III ćwiartce.

Zadanie 4: zadanie praktyczne o czasie pracy

Sześć identycznych maszyn pakuje partię towaru w 20 godzin. W ile godzin tę samą partię spakuje 8 takich maszyn?

Krok 1: rozpoznaj zależność. Więcej maszyn to krótszy czas, a "całość pracy" jest stała. Liczba maszyn i czas pracy są odwrotnie proporcjonalne.

Krok 2: zapisz stały iloczyn. $6 \cdot 20 = 120$ maszynogodzin, tyle pracy wymaga cała partia.

Krok 3: oblicz czas dla 8 maszyn. $8 \cdot t = 120$, więc $t = \frac{120}{8} = 15$ godzin.

Odpowiedź: 8 maszyn spakuje partię w 15 godzin.

Zadanie 5: wartości funkcji i prosta nierówność

Dana jest funkcja $f(x) = \frac{8}{x}$. Dla jakich dodatnich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od 2?

Krok 1: zapisz warunek. Szukamy $x > 0$, dla których $\frac{8}{x} > 2$.

Krok 2: rozwiąż nierówność. Dla $x > 0$ możesz pomnożyć obie strony przez $x$ bez zmiany znaku nierówności: $8 > 2x$, czyli $x < 4$.

Krok 3: połącz warunki. $x > 0$ i $x < 4$, więc $x \in (0, 4)$.

Interpretacja na wykresie: gałąź hiperboli w I ćwiartce leży powyżej prostej $y = 2$ dokładnie dla argumentów z przedziału $(0, 4)$. Podobne rachunki z niewiadomą w mianowniku ćwiczyliśmy w poście o nierównościach wymiernych.

Typowe pułapki w zadaniach z proporcjonalności odwrotnej

• •Mylenie z proporcjonalnością prostą. Najczęstszy błąd: liczysz iloraz zamiast iloczynu i wybierasz "ładną" błędną odpowiedź, którą CKE zawsze podstawia w dystraktorach (w zadaniu 2 była to liczba 12).
• •Uznanie funkcji za malejącą na całej dziedzinie. Dla $f(x) = \frac{12}{x}$ porównaj $f(-2) = -6$ i $f(2) = 6$: argument wzrósł i wartość też wzrosła. Dlatego mówimy, że funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów $(-\infty, 0)$ i $(0, +\infty)$ OSOBNO.
• •Zapominanie o dziedzinie. Zero nie należy do dziedziny funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$. W zadaniach typu prawda-fałsz o własnościach funkcji zawsze wykluczaj $x = 0$.
• •Mieszanie jednostek w zadaniach praktycznych. Jeśli czas raz jest w minutach, a raz w godzinach, najpierw sprowadź wszystko do jednej jednostki, dopiero potem licz iloczyn.
• •Zgubiony znak przy ujemnym współczynniku. Wykres $f(x) = \frac{-5}{x}$ leży w II i IV ćwiartce, nie w I i III. Znak współczynnika czytaj ze wzoru, nie z przyzwyczajenia.

Checklista: co musisz umieć przed maturą

Wszystkie własności funkcji powtórzysz w przewodniku po funkcjach na maturze, a zestaw zadań CKE z tego działu znajdziesz w bazie zadań z funkcji z rozwiązaniami. Jeśli robisz właśnie wakacyjną powtórkę, dołóż ten temat do planu nauki matematyki w wakacje i przećwicz cały dział na stronie Funkcje.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie