Nierówności wymierne na maturze - jak rozwiązać krok po kroku

Nierówność wymierna to nierówność, w której niewiadoma występuje w mianowniku, np. $\frac{x-2}{x+1} \ge 0$. Rozwiązujesz ją metodą znaków: sprowadzasz wszystko na jedną stronę, rozkładasz licznik i mianownik na czynniki, a potem badasz znak całego wyrażenia w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe licznika i mianownika. Nigdy nie mnożysz obu stron przez wyrażenie zawierające niewiadomą, bo nie wiesz, czy jest ono dodatnie, czy ujemne, więc nie wiesz, w którą stronę obrócić znak nierówności.

To jeden z trudniejszych tematów z działu równania i nierówności, bo łączy w sobie kilka umiejętności naraz: rozkład na czynniki, wyznaczanie dziedziny i odczytywanie znaku wyrażenia z osi liczbowej. Jeśli metoda graficzna dla zwykłych nierówności kwadratowych jest ci już znana, nierówności wymierne to naturalny kolejny krok. W tym artykule przejdziesz przez cały algorytm i 5 zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku, od najprostszego przypadku po porównanie dwóch wyrażeń wymiernych.

Czym różni się nierówność wymierna od równania wymiernego

Równanie wymierne rozwiązujesz, szukając konkretnych wartości $x$, dla których obie strony są sobie równe, więc masz skończony zbiór rozwiązań (punkty). Nierówność wymierna pyta o cały przedział wartości $x$, dla których wyrażenie ma określony znak (dodatni, ujemny, nieujemny albo niedodatni). Rozwiązaniem jest suma przedziałów, a nie pojedyncze liczby.

Dlaczego nie można mnożyć przez mianownik z niewiadomą

Mnożenie obu stron nierówności przez wyrażenie z niewiadomą jest niedozwolone, bo nie znasz znaku tego wyrażenia. Jeśli jest ono ujemne, znak nierówności trzeba odwrócić, a jeśli dodatnie, zostaje bez zmian. Skoro nie wiesz, który przypadek zachodzi, bo to zależy właśnie od $x$, którego szukasz, nie możesz podjąć tej decyzji z góry.

Częsty błąd wygląda tak: z nierówności $\frac{1}{x} > 2$ ktoś mnoży obie strony przez $x$ i dostaje $1 > 2x$, czyli $x < \frac{1}{2}$, i uznaje to za pełne rozwiązanie. To błąd, bo dla $x<0$ nierówność $\frac{1}{x}>2$ jest fałszywa (ułamek ujemny nie może być większy od $2$), a zbiór $x<\frac{1}{2}$ obejmuje też wszystkie liczby ujemne. Poprawne rozwiązanie to $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$, a dostaniesz je metodą znaków, którą pokazuję niżej.

Metoda znaków: algorytm rozwiązywania nierówności wymiernych

Metodę znaków stosujesz zawsze w tej samej kolejności, niezależnie od tego, jak skomplikowana jest nierówność.

Krok 1: Sprowadź nierówność do postaci z zerem po jednej stronie. Przenieś wszystko na lewą stronę i sprowadź do wspólnego mianownika, tak żeby po prawej stronie zostało samo zero.

Krok 2: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki.

Krok 3: Wyznacz miejsca zerowe licznika i mianownika i zaznacz je na osi liczbowej. Miejsca zerowe mianownika zawsze zaznaczasz kółkiem otwartym, niezależnie od typu nierówności.

Krok 4: Zbadaj znak wyrażenia w każdym przedziale, wstawiając przykładową liczbę z każdego przedziału do rozłożonego na czynniki wzoru.

Krok 5: Odczytaj przedziały, w których znak wyrażenia zgadza się z nierównością. Miejsca zerowe licznika dołączasz (kółko zamknięte) tylko przy nierówności nieostrej ($\ge$, $\le$), a miejsca zerowe mianownika są wykluczone zawsze.

Zadanie 1: Prosta nierówność wymierna

Zadanie: Rozwiąż nierówność $\frac{x-3}{x+2} > 0$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Wyznacz miejsce zerowe licznika i mianownika

   Licznik: $x=3$. Mianownik: $x=-2$ (wykluczone z dziedziny).

2. Krok 2

   Zaznacz oba punkty na osi liczbowej

   Dzielą oś na trzy przedziały: $(-\infty,-2)$, $(-2,3)$, $(3,+\infty)$.

3. Krok 3

   Sprawdź znak w każdym przedziale

   Dla $x=-3$: $\frac{-3-3}{-3+2}=\frac{-6}{-1}=6>0$, spełnia. Dla $x=0$: $\frac{0-3}{0+2}=\frac{-3}{2}<0$, nie spełnia. Dla $x=4$: $\frac{4-3}{4+2}=\frac{1}{6}>0$, spełnia.

Odpowiedź:

$x \in (-\infty,-2) \cup (3,+\infty)$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 2: Nierówność wymierna z rozkładem na czynniki

Zadanie: Rozwiąż nierówność $\frac{x^2-4}{x-1} \le 0$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Rozłóż licznik

   $x^2-4=(x-2)(x+2)$.

2. Krok 2

   Wyznacz miejsca zerowe

   Licznik: $x=-2$ i $x=2$ (włączone, bo nierówność nieostra). Mianownik: $x=1$ (zawsze wykluczone).

3. Krok 3

   Zaznacz punkty na osi w kolejności

   $-2, 1, 2$, czyli cztery przedziały.

4. Krok 4

   Sprawdź znak w każdym przedziale

   Dla $x=-3$: $\frac{(-3-2)(-3+2)}{-3-1}=\frac{(-5)(-1)}{-4}=\frac{5}{-4}<0$, spełnia. Dla $x=0$: $\frac{(0-2)(0+2)}{0-1}=\frac{-4}{-1}=4>0$, nie spełnia. Dla $x=1{,}5$: $\frac{(1{,}5-2)(1{,}5+2)}{1{,}5-1}=\frac{-1{,}75}{0{,}5}<0$, spełnia. Dla $x=3$: $\frac{(3-2)(3+2)}{3-1}=\frac{5}{2}=2{,}5>0$, nie spełnia.

5. Krok 5

   Uwzględnij punkty graniczne

   $x=-2$ i $x=2$ dołączasz, bo to zera licznika, a nierówność jest nieostra. $x=1$ wykluczasz zawsze.

Odpowiedź:

$x \in (-\infty, -2] \cup (1, 2]$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 3: Nierówność wymierna z podwójnym pierwiastkiem w liczniku

Zadanie: Rozwiąż nierówność $\frac{(x-1)^2}{x-4} \ge 0$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Wyznacz dziedzinę

   Mianownik zeruje się dla $x=4$, to jedyne wykluczenie.

2. Krok 2

   Zbadaj znak licznika

   $(x-1)^2 \ge 0$ dla każdego $x$ i równa się zero tylko dla $x=1$. Licznik nigdy nie jest ujemny, więc podwójny pierwiastek nie zmienia znaku całego wyrażenia przy przejściu przez $x=1$, tylko dotyka zera w tym punkcie.

3. Krok 3

   Sprawdź znak mianownika

   Skoro licznik jest zawsze nieujemny (poza $x=1$, gdzie wynosi 0), znak całego ułamka dla $x \neq 1$ zależy wyłącznie od mianownika $x-4$.

4. Krok 4

   Rozwiąż warunek na mianownik

   $x-4>0$ daje $x>4$, wtedy ułamek jest dodatni i spełnia $\ge 0$.

5. Krok 5

   Dołącz punkt $x=1$ osobno

   Dla $x=1$ cały ułamek wynosi $\frac{0}{1-4}=0$, co spełnia $\ge 0$. Ten punkt należy do rozwiązania, mimo że leży daleko od przedziału $(4,+\infty)$.

Odpowiedź:

$x \in \{1\} \cup (4,+\infty)$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 4: Nierówność wymierna sprowadzona do jednej strony

Zadanie: Rozwiąż nierówność $\frac{x+1}{x-2} < 3$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Sprowadź do postaci z zerem po prawej stronie

   Nie mnożysz przez $(x-2)$, tylko odejmujesz 3 od obu stron:

   $\frac{x+1}{x-2} - 3 < 0$
2. Krok 2

   Sprowadź do wspólnego mianownika

   $\frac{(x+1) - 3(x-2)}{x-2} < 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{x+1-3x+6}{x-2} < 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{-2x+7}{x-2} < 0$
3. Krok 3

   Wyznacz miejsca zerowe

   Licznik: $-2x+7=0$, czyli $x=\frac{7}{2}$. Mianownik: $x=2$ (wykluczone).

4. Krok 4

   Zbadaj znak w trzech przedziałach

   Dla $x=0$: $\frac{7}{-2}<0$, spełnia. Dla $x=3$: $\frac{-6+7}{3-2}=\frac{1}{1}=1>0$, nie spełnia. Dla $x=4$: $\frac{-8+7}{4-2}=\frac{-1}{2}<0$, spełnia.

Odpowiedź:

$x \in (-\infty, 2) \cup \left(\frac{7}{2}, +\infty\right)$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 5: Porównanie dwóch wyrażeń wymiernych

Zadanie: Rozwiąż nierówność $\frac{1}{x-1} \le \frac{1}{x+1}$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Wyznacz dziedzinę

   $x \neq 1$ i $x \neq -1$.

2. Krok 2

   Sprowadź do jednej strony, nie mnóż na krzyż

   $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \le 0$
3. Krok 3

   Sprowadź do wspólnego mianownika

   $\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} \le 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{x^2-1} \le 0$
4. Krok 4

   Zbadaj znak

   Licznik $2$ jest zawsze dodatni, więc znak całego wyrażenia zależy wyłącznie od mianownika. Ułamek jest ujemny, gdy $x^2-1<0$, czyli gdy $-1<x<1$.

Odpowiedź:

$x \in (-1, 1)$.

To pokazuje, dlaczego zakaz mnożenia przez mianownik z niewiadomą z początku artykułu ma znaczenie. Gdybyś pomnożył obie strony przez $(x-1)(x+1)$ bez sprawdzenia jego znaku, łatwo o błędny wynik.

Wylosuj podobne zadanie

Typowe błędy przy nierównościach wymiernych

• •Mnożenie obu stron przez wyrażenie z niewiadomą bez sprawdzenia jego znaku. To najczęstszy i najpoważniejszy błąd, prowadzi do utraty części rozwiązań albo dodania fałszywych.
• •Włączanie miejsca zerowego mianownika do rozwiązania. Te punkty są wykluczone zawsze, niezależnie od tego, czy nierówność jest ostra, czy nieostra.
• •Traktowanie podwójnego pierwiastka w liczniku tak samo jak pojedynczego. Wyrażenie w kwadracie nie zmienia znaku przy przejściu przez swoje miejsce zerowe, tylko go dotyka.
• •Zapominanie o przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę przed sprowadzeniem do wspólnego mianownika, co prowadzi do błędnego licznika.
• •Pomylenie kółka otwartego z zamkniętym przy zapisywaniu przedziału rozwiązania.

Najczęstsze pytania

Checklista: co musisz umieć

Jeśli metoda znaków sprawia ci trudność, wróć najpierw do nierówności z wartością bezwzględną. A jeśli wcześniej utknąłeś na skracaniu i działaniach na samych wyrażeniach wymiernych, bez znaku nierówności, zobacz osobny wpis o wyrażeniach wymiernych i ułamkach algebraicznych. Pełną bazę zadań z tego działu znajdziesz na stronie równań i nierówności.

Następny krok Losuj kolejne zadanie