Dane jest równanie 2/(2 x+1)=(x-1)/(x+2) Wyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż to równanie.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dziedzina: x ≠ -1/2 i x ≠ -2Rozwiązania: x=-1 oraz x=5/2
# Dziedzina równania
Dziedzina to zbiór wartości x, dla których obie strony równania są określone.
Równanie nie jest określone, gdy mianowniki są równe zero: - Lewa strona: 2x + 1 = 0 x = -1/2 - Prawa strona: x + 2 = 0 x = -2
Dziedzina: x ∈ R ∖ {-1/2, -2}, czyli x ≠ -1/2 i x ≠ -2
# Rozwiązanie równania
Mnożymy obie strony przez (2x+1)(x+2) (możemy to zrobić, bo w dziedzinie te wyrażenia są różne od zera):
2(x+2) = (x-1)(2x+1)
Rozwijamy lewą stronę: 2x + 4
Rozwijamy prawą stronę: (x-1)(2x+1) = 2x² + x - 2x - 1 = 2x² - x - 1
Otrzymujemy równanie: 2x + 4 = 2x² - x - 1
Przenosimy wszystko na jedną stronę: 0 = 2x² - x - 1 - 2x - 4
2x² - 3x - 5 = 0
Rozwiązujemy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik: Δ= (-3)² - 4 · 2 · (-5) = 9 + 40 = 49
√(Δ) = 7
Obliczamy pierwiastki: x₁ = (3 - 7)/(2 · 2) = -4/4 = -1
x₂ = (3 + 7)/(2 · 2) = 10/4 = 5/2
Sprawdzamy, czy oba rozwiązania należą do dziedziny: - x₁ = -1 ≠ -1/2 i x₁ = -1 ≠ -2 ✓ - x₂ = 5/2 ≠ -1/2 i x₂ = 5/2 ≠ -2 ✓
Odpowiedź: x = -1 oraz x = 5/2
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.