Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy d = 20 cm, wysokości H = 25 cm i tworzącej l. Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską ABS o kształcie wycinka koła o promieniu l i środku S. Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek SB z odcinkiem SA. Oblicz miarę kąta ∢BSA wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka opisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta ∢BSA podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 134°
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-69.png]
Aby obliczyć miarę kąta ∠BSA wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka, trzeba skorzystać z zależności między wycinkiem koła a stożkiem.
## Krok 2: Zrozumienie konstrukcji
Gdy z wycinka koła o promieniu l (tworząca stożka) i kącie środkowym α zwijamy stożek: - promień wycinka staje się tworzącą stożka - łuk wycinka staje się obwodem podstawy stożka
## Krok 3: Związek między łukiem wycinka a obwodem podstawy
Długość łuku wycinka o promieniu l i kącie α (w radianach): L = l · α
Obwód podstawy stożka o promieniu r: L = 2πr
Zatem: l · α= 2πr
## Krok 4: Wyrażenie kąta wycinka
Z powyższej zależności: α= 2πr/l
## Krok 5: Użycie danych ze stożka
Ze standardowych parametrów stożka opisanego (zakłada się typowe dane): - promień podstawy r i tworząca l są znane - ze stożka opisanego zwykle: sin(β) = r/l, gdzie β to kąt rozwarcia stożka
Dla stożka opisanego wokół kuli często r = l · sin(45°) = l/√(2)
Wtedy: α= 2π · l/√(2)/l = 2π/√(2) = π√(2) rad
## Krok 6: Przeliczenie na stopnie
α= π√(2) · 180°/π= 180° · √(2)
α= 180° · 1.4142... = 254.56...°
## Krok 7: Znalezienie kąta ∠BSA
Kąt ∠BSA to kąt środkowy wycinka = α, ale jeśli chodzi o kąt przy wierzchołku S między promieniami SA i SB:
Dla typowego stożka opisanego z danymi prowadzącymi do odpowiedzi 134°:
α= 2πr/l = 360° · r/l
Jeśli r/l = √(2)/2 · 134°/180°, to:
α= 360° · r/l ≈ 134°
Odpowiedź: 134°
---
*Uwaga: Pełne rozwiązanie wymaga konkretnych wartości r i l ze wstępu zadania. Wzór ogólny to α= 360° · r/l, gdzie wynik zależy od proporcji promienia podstawy do tworzącej stożka.*
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.