Dany jest trójkąt ABC o bokach długości: |AB| = 4, |BC| = 5, |AC| = 6. Oblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta ABC.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: √(7)/4
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-55.png]
## Krok 2: Identyfikacja najmniejszego kąta
W trójkącie najmniejszy kąt leży naprzeciwko najkrótszego boku.
Boki trójkąta: |AB| = 4, |BC| = 5, |AC| = 6
Najkrótszy bok to |AB| = 4, więc najmniejszy kąt to ∠ACB (kąt przy wierzchołku C).
## Krok 3: Obliczenie cosinusa kąta przy C
Stosujemy twierdzenie cosinusów dla boku AB:
|AB|² = |AC|² + |BC|² - 2 · |AC| · |BC| · cos(∠ACB)
Podstawiamy wartości:
4² = 6² + 5² - 2 · 6 · 5 · cos(∠ACB)
16 = 36 + 25 - 60 · cos(∠ACB)
16 = 61 - 60 · cos(∠ACB)
60 · cos(∠ACB) = 61 - 16
60 · cos(∠ACB) = 45
cos(∠ACB) = 45/60 = 3/4
## Krok 4: Obliczenie sinusa z jedynki trygonometrycznej
Korzystamy z tożsamości: sin²(α) + cos²(α) = 1
sin²(∠ACB) = 1 - cos²(∠ACB)
sin²(∠ACB) = 1 - (3/4)²
sin²(∠ACB) = 1 - 9/16
sin²(∠ACB) = (16 - 9)/16 = 7/16
Ponieważ kąt w trójkącie jest ostry (cosinus dodatni), to:
sin(∠ACB) = √(7/16) = √(7)/4
## Odpowiedź
Sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta ABC wynosi √(7)/4.
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.