Dany jest prostokąt ABCD, w którym |AD| = 2. Kąt BDA ma miarę α, taką, że tg α= 2. Przekątna BD i prosta przechodząca przez wierzchołek C prostopadła do BD przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka CE.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: |CE|=4√(5)/5 lub |CE|=4/√(5)
Oznaczmy wymiary prostokąta i ustalmy układ współrzędnych.
## Krok 1: Analiza danych i wymiary prostokąta
Mamy prostokąt ABCD z |AD| = 2.
W trójkącie prostokątnym ABD (kąt prosty przy A): - ∠BDA = α - tg α= 2
Ponieważ tg α= |AB|/|AD|, to:
|AB|/2 = 2
|AB| = 4
## Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych
Umieśćmy prostokąt w układzie współrzędnych: - A = (0, 0) - B = (4, 0) - C = (4, 2) - D = (0, 2)
## Krok 3: Wyznaczenie równania prostej BD
Prosta BD przechodzi przez punkty B = (4, 0) i D = (0, 2).
Współczynnik kierunkowy: k_(BD) = (2 - 0)/(0 - 4) = -1/2
Równanie prostej BD: y - 0 = -1/2(x - 4) y = -1/2 x + 2
## Krok 4: Wyznaczenie prostej prostopadłej do BD przechodzącej przez C
Prosta prostopadła do BD ma współczynnik kierunkowy: k_(⊥) = -1/k_(BD) = -1/(-1/2) = 2
Prosta przechodząca przez C = (4, 2) z współczynnikiem k = 2: y - 2 = 2(x - 4) y = 2x - 6
## Krok 5: Wyznaczenie punktu przecięcia E
Punkt E jest przecięciem prostych BD i prostej prostopadłej: -1/2 x + 2 = 2x - 6 8 = 2x + 1/2 x 8 = 5/2 x x = 16/5
y = 2 · 16/5 - 6 = 32/5 - 30/5 = 2/5
Więc E = (16/5, 2/5).
## Krok 6: Obliczenie długości |CE|
|CE| = √((4 - 16/5)² + (2 - 2/5)²)
= √(((20 - 16)/5)² + ((10 - 2)/5)²)
= √((4/5)² + (8/5)²)
= √(16/25 + 64/25)
= √(80/25) = √(80)/5 = 4√(5)/5
Odpowiedź: |CE| = 4√(5)/5 = 4/√(5)
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.