W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przekątne równoległoboku A B C D przecinają się w punkcie S=(11/2, 17/2). Bok A B tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y=x-2, a bok A D zawiera się w prostej o równaniu y=3 x-6. Oblicz współrzędne wierzchołka B.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B=(4,2)
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-61.png]
Szuka się współrzędnych wierzchołka B równoległoboku ABCD.
## Krok 2: Znalezienie wierzchołka A
Wierzchołek A leży na przecięciu boków AB i AD, czyli na przecięciu prostych: - y = x - 2 - y = 3x - 6
Przyrównuje się: x - 2 = 3x - 6 -2 + 6 = 3x - x 4 = 2x x = 2
Podstawia się do pierwszego równania: y = 2 - 2 = 0
Zatem A = (2, 0)
## Krok 3: Wykorzystanie własności przekątnych równoległoboku
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości. Punkt S jest środkiem obu przekątnych AC i BD.
Punkt S jest środkiem przekątnej AC, więc: S = (A + C)/2
Wyznacza się współrzędne punktu C: (11/2, 17/2) = ((2, 0) + C)/2
(11/2, 17/2) = ((2 + x_C)/2, (0 + y_C)/2)
Stąd: (2 + x_C)/2 = 11/2 x_C = 11 - 2 = 9 y_C/2 = 17/2 y_C = 17
Więc C = (9, 17)
## Krok 4: Znalezienie wierzchołka B
Punkt B leży na prostej AB: y = x - 2
Punkt S jest środkiem przekątnej BD: S = (B + D)/2
Punkt D leży na prostej AD: y = 3x - 6
Niech B = (b, b-2) (bo leży na prostej AB)
Niech D = (d, 3d-6) (bo leży na prostej AD)
Z warunku na środek przekątnej BD: (11/2, 17/2) = ((b, b-2) + (d, 3d-6))/2
To daje układ równań: (b + d)/2 = 11/2 b + d = 11 ((b-2) + (3d-6))/2 = 17/2 b + 3d - 8 = 17 b + 3d = 25
Odejmuje się pierwsze równanie od drugiego: (b + 3d) - (b + d) = 25 - 11 2d = 14 d = 7
Podstawia się do pierwszego równania: b + 7 = 11 b = 4
Zatem B = (4, 4-2) = (4, 2)
## Sprawdzenie
- A = (2, 0), B = (4, 2), C = (9, 17), D = (7, 15) - Środek AC: ((2+9)/2, (0+17)/2) = (11/2, 17/2) ✓ - Środek BD: ((4+7)/2, (2+15)/2) = (11/2, 17/2) ✓
Odpowiedź: B = (4, 2)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.