Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne a i b takie, że a < b oraz obie są niepodzielne przez 3. Udowodnij, że liczba a²+11 a b+b² jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Skoro a i b to kolejne liczby naturalne, to b = a + 1.
Analiza warunków dotyczących podzielności przez 3
Liczby naturalne dzielą się na trzy klasy ze względu na resztę z dzielenia przez 3: - n ≡ 0 3 — podzielne przez 3 - n ≡ 1 3 - n ≡ 2 3
Ponieważ a i b = a+1 są kolejnymi liczbami, a obie są niepodzielne przez 3, możliwe są tylko dwie sytuacje: - a ≡ 1 3 i b ≡ 2 3 - a ≡ 2 3 i b ≡ 0 3 — niemożliwe, bo b musi być niepodzielne przez 3
Zatem jedyna możliwość to: a ≡ 1 3 i b ≡ 2 3.
Podstawienie b = a + 1
Obliczamy wyrażenie a² + 11ab + b²:
a² + 11ab + b² = a² + 11a(a+1) + (a+1)²
= a² + 11a² + 11a + a² + 2a + 1
= 13a² + 13a + 1
Sprawdzenie podzielności przez 9
Musimy pokazać, że 13a² + 13a + 1 ≡ 0 9.
Ponieważ a ≡ 1 3, możemy zapisać a = 3k + 1 dla pewnej liczby całkowitej k ≥ 0.
Podstawiamy: a² = (3k+1)² = 9k² + 6k + 1
13a² = 13(9k² + 6k + 1) = 117k² + 78k + 13
13a = 13(3k+1) = 39k + 13
13a² + 13a + 1 = 117k² + 78k + 13 + 39k + 13 + 1
= 117k² + 117k + 27
= 9(13k² + 13k + 3)
Zatem 13a² + 13a + 1 jest podzielne przez 9.
Wniosek
Liczba a² + 11ab + b² jest podzielna przez 9, co kończy dowód.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.