Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie. Rozważmy trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku A. Niech każdy z boków tego trójkąta: CA, AB, BC będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: CAW₁, ABW₂, CBW₃. Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: W₁, W₂, W₃. Pola trójkątów: CAW₁, ABW₂, CBW₃ oznaczymy odpowiednio jako P₁, P₂, P₃. Udowodnij, że: P₃=P₁+P₂
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Oznaczmy długości boków trójkąta prostokątnego ABC: - |CA| = b (przyprostokątna) - |AB| = a (przyprostokątna) - |BC| = c (przeciwprostokątna)
Z twierdzenia Pitagorasa: c² = a² + b²
## Krok 1: Związek między polami trójkątów podobnych
Trójkąty CAW₁, ABW₂, CBW₃ są podobne do siebie (mają odpowiadające kąty o równych miarach).
Dla trójkątów podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi stosunku odpowiadających sobie boków.
## Krok 2: Wyrażenie pól przez podstawy
Ponieważ trójkąty są zbudowane na bokach CA, AB, BC jako podstawach i są wzajemnie podobne, to:
P₁/P₃ = b²/c²
P₂/P₃ = a²/c²
(stosunek pól = kwadrat stosunku odpowiadających podstaw)
## Krok 3: Wyrażenie P₁ i P₂ przez P₃
Z powyższych proporcji: P₁ = P₃ · b²/c²
P₂ = P₃ · a²/c²
## Krok 4: Obliczenie sumy P₁ + P₂
P₁ + P₂ = P₃ · b²/c² + P₃ · a²/c²
P₁ + P₂ = P₃ · (b² + a²)/c²
## Krok 5: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że a² + b² = c², zatem:
P₁ + P₂ = P₃ · c²/c² = P₃ · 1 = P₃
## Wniosek
P₃ = P₁ + P₂
co kończy dowód. ■
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.