CKE 2025 PP

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia...

Pensja pana X jest o $50\%$ wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o $40\%$ niższa od średniej krajowej....

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $(3 n+5)^2+11 n^2-18$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę...

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne $a$ i $b$ takie, że $a\lt b$ oraz obie są niepodzielne przez $3$. Udowodn...

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $n\left(n^2+3 n+2\right)$ jest podzielna przez $6$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba...

Udowodnij, że liczba $3^{45}+9^{22}+27^{14}$ jest podzielna przez $37$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $|\sqrt{5}-1|-3|2-\sqrt{5}|$ jest równa

Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi $3\%$ w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po...

Na wykresie przedstawiono zależność $\log K(t)$, gdzie $K(t)$ jest liczbą bakterii w próbce po czasie $t$ wyrażony...

Liczba $\log_2\left[(\sqrt{2})^2\cdot (\sqrt{2})^4\cdot (\sqrt{2})^8\right]$ jest równa

Dane są liczby $a=\log _2(3 \sqrt{5}+\sqrt{13})$ oraz $b=\log _2(3 \sqrt{5}-\sqrt{13})$. Dokończ zdanie. Zaznacz wła...

Dane są dwie liczby $x$ i $y$, takie, że iloraz $\frac{x}{y}$ jest równy $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Oblicz wartość...

Dane są liczby $a=\sqrt{5}-2$ oraz $b=\sqrt{5}+2$. Oblicz wartość wyrażenia...

Dana jest liczba $x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$, gdzie $a$ należy do zbioru $\mathbb{R}$ liczb rzeczywistych. W rozw...

Dane jest wyrażenie $W(x)=\frac{2 x^2}{x^2-4} \cdot \frac{x-2}{x}$. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli z...

Dana jest nierówność $$\frac{2 x-1}{2}-\frac{x+2}{3} \geq \frac{1}{6}$$ Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi...

Dane jest równanie $$\frac{2}{2 x+1}=\frac{x-1}{x+2}$$ Wyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż to równanie.

Rozwiąż nierówność $$(3 x-4)(x-1)\lt x$$

Rozważmy takie liczby rzeczywiste $a$ i $b$, które spełniają warunki:...

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układ równań...

Funkcja $y=f(x)$ jest określona za pomocą tabeli $x$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $y$ $-3$ $2$...

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresy f...

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem:...

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=x^2-b-2 \sqrt{2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Miejscem zerowy...

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=3 x^{2}+2 x+m$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Współczynnik...

Dana jest funkcja $y=f(x)$, której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku. T...

Funkcja $f$ jest określona następująco:...

Dana jest funkcja $y=f(x)$, której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku. F...

Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli....

Czas $T$ połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i mas...

Czas $T$ połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i mas...

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem rekurencyjnym:...

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem ogólnym: $a_n = 4n - 9$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Wykaż, że...

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Ciąg $\left(a_{n}\right)$ określony...

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{1}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 0$. Oblicz wartość...

Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Cało...

Dany jest kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ oraz 9$0^\circ \lt \alpha \lt 180^\circ$. Oceń...

W trójkącie $ABC$ dane są długości dwóch boków $|AB| = 12$, $|BC| = 8$ oraz miara kąta...

Wierzchołki $A$ i $C$ trójkąta $ABC$ leżą na okręgu o promieniu $r$. Środek $S$ tego okręgu leży na boku \(AB\...

Punkt $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$. Długość odcinka $SA$ jest równa $10$. Dokończ zdanie. Zaznacz...

Dane są okrąg o środku $S$ oraz prosta $k$ styczna do okręgu w punkcie $A$. Odcinek $AB$ jest cięciwą tego okręg...

Dany jest trójkąt prostokątny $A B C$ o bokach $|A C|=12,|B C|=5,|A B|=13$. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinaj...

Dany jest trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ tego trójkąta wybrano punkt $D$, taki, że $|AD| = \frac{1}{4}|AB|$, a na b...

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie....

Dany jest prostokąt $ABCD$, w którym $|AD| = 2$. Kąt $BDA$ ma miarę $\alpha$, taką, że...

Trzy różne punkty $A$, $B$ i $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Odcinek $BD$ jest średnicą tego okręgu...

Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości: $|AB| = 4$, $|BC| = 5$, $|AC| = 6$. Oblicz sinus najmniejszego kąta w...

Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $A$. Proste $m$, $n$ i $s$ są do siebie równoległe i przecinają ob...

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ jest liczba $(-5)$. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będą...

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dane są punkty $A = (1,2)$ oraz $B = (3,7)$. Pun...

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dany jest trapez $A B C D$, w którym boki $AB$ i...

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, punkty $A=(-1,-5)$, $B=(2,-7), C=(6,9)$ i...

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przekątne równoległoboku $A B C D$ przecinają się w punkcie...

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A=(2,8)$ oraz $B=(10,2)$ są wierzchołkami trójkąta równora...

Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$, w którym prostokąty $ABCD$ i $EFGH$ są jego podstawami. Odcinek $BH$ jest...

Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$, w którym prostokąty $ABCD$ i $EFGH$ są jego podstawami. Odcinek $BH$ jest...

Dane są dwa prostopadłościany podobne: $B_1$ oraz $B_2$. Objętość prostopadłościanu $B_1$ jest równa $V$, a obję...

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej...

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej...

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kąt...

Pole powierzchni bocznej walca jest równe $16 \pi$, a promień jego podstawy ma długość $2$. Dokończ zdanie. Zaznacz...

Pojedynczy znak w piśmie Braille’a dla niewidomych jest kombinacją od 1 do 6 wypukłych punktów, które mogą zajmować miej...

Andrzej ma w szafie $4$ koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; $3$ pary spodni: niebieskie, czarne i szare;...

Andrzej ma w szafie $4$ koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; $3$ pary spodni: niebieskie, czarne i szare;...

Andrzej ma w szafie $4$ koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; $3$ pary spodni: niebieskie, czarne i szare;...

Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeni...

Na wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich pracowników w pewnej firmie $F$. Na osi...

Ze zbioru sześciu liczb $\{1,2,3,4,5,6\}$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodo...