Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba będzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P(A)=1/25
## Krok 1: Określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych
Czterocyfrowe liczby dodatnie to liczby od 1000 do 9999.
|Ω| = 9999 - 1000 + 1 = 9000
## Krok 2: Sformułowanie warunków zdarzenia A
Wylosowana liczba musi spełniać: - jest parzysta (cyfra jedności: 0, 2, 4, 6, 8) - zawiera dokładnie jedną cyfrę 2 - zawiera dokładnie jedną cyfrę 3
## Krok 3: Podział na przypadki ze względu na cyfrę jedności
Przypadek 1: Cyfra jedności to 2
Wtedy cyfra 2 już występuje (na pozycji jedności), więc nie może wystąpić na innych pozycjach. Cyfra 3 musi wystąpić dokładnie raz na jednej z trzech pozostałych pozycji.
- Cyfra 3 na pozycji tysięcy: _ _ _ 2, gdzie pierwszy znak to 3 - Pozostałe dwie pozycje: cyfry różne od 2 i 3, czyli 8 możliwości każda - Liczba możliwości: 1 · 8 · 8 = 64
- Cyfra 3 na pozycji setek lub dziesiątek: - Pozycja tysięcy: cyfry 1, 4-9 (nie może być 0, 2, 3) — 7 możliwości - Pozycja z cyfrą 3: 1 możliwość - Pozostała środkowa pozycja: cyfry różne od 2 i 3 — 8 możliwości - Dla każdej z 2 pozycji (setki lub dziesiątki): 7 · 8 = 56 - Razem: 2 · 56 = 112
Suma dla przypadku 1: 64 + 112 = 176
Przypadek 2: Cyfra jedności to 0, 4, 6 lub 8
Cyfra 2 musi wystąpić dokładnie raz, cyfra 3 musi wystąpić dokładnie raz na trzech pierwszych pozycjach.
Wybieramy 2 pozycje spośród 3 pierwszych: jedna dla cyfry 2, druga dla cyfry 3.
C(3, 2) · 2! = 3 · 2 = 6 sposobów rozmieszczenia cyfr 2 i 3
Dla każdego rozmieszczenia: - Jeśli cyfra 2 lub 3 jest na pozycji tysięcy, pozostała trzecia pozycja: 8 możliwości (cyfry różne od 2 i 3) - Jeśli na pozycji tysięcy jest inna cyfra: musi być to jedna z cyfr 1, 4-9 (nie 0, 2, 3) — 7 możliwości
Rozważmy szczegółowo: - (2,3,_) lub (3,2,_): 2 układy, każdy z 8 możliwościami na 3. pozycji → 2 · 8 = 16 - (_,2,3) lub (_,3,2): 2 układy, każdy z 7 możliwościami na 1. pozycji → 2 · 7 = 14 - (2,_,3) lub (3,_,2): 2 układy, każdy z 8 możliwościami na środkowej pozycji → 2 · 8 = 16
Suma dla jednej cyfry jedności: 16 + 14 + 16 = 46
Dla 4 cyfr jedności (0, 4, 6, 8): 4 · 46 = 184
## Krok 4: Obliczenie prawdopodobieństwa
|A| = 176 + 184 = 360
P(A) = 360/9000 = 36/900 = 1/25
Odpowiedź: P(A) = 1/25
Prawdopodobieństwo: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, drzewa stochastyczne, zdarzenia przeciwne i doświadczenia losowe z arkuszy maturalnych.