Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie ze zbioru Y - jak policzyć prawdopodobieństwo (zadania maturalne)

Gdy losujesz jedną liczbę ze zbioru $X$, a następnie jedną liczbę ze zbioru $Y$, wynikiem jest uporządkowana para $(x, y)$, a wszystkich takich par jest $|\Omega| = |X| \cdot |Y|$, czyli liczność pierwszego zbioru razy liczność drugiego. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ to liczba par spełniających warunek podzielona przez $|X| \cdot |Y|$. Pary sprzyjające liczysz na jeden z trzech sposobów: z tabeli par, przez rozbicie na przypadki (parzystość, znak, reszta z dzielenia) albo przez zdarzenie przeciwne.

W formule 2023 to zadanie pojawiło się już w czterech arkuszach i za każdym razem było zadaniem otwartym za 2 punkty: w arkuszu z maja 2026 (zadanie 33, dwa zbiory cyfr i liczba dwucyfrowa podzielna przez 6), w arkuszu z czerwca 2025 (zadanie 33, zbiory z zerem i liczbami ujemnymi, iloczyn nieujemny), w arkuszu z sierpnia 2024 (suma większa od 9) i w próbnej maturze CKE z grudnia 2024 (zadanie 33, iloczyn podzielny przez 4). W starej formule ten sam schemat był wart 4 punkty: matura maj 2018, zadanie 33, suma podzielna przez 3. Różnica w stosunku do wpisu o losowaniu ze zwracaniem jest jedna, ale kluczowa: tam dwa razy losujesz z tego samego zbioru i $|\Omega| = n^2$, tutaj zbiory są dwa, różne, często o różnej liczbie elementów, i $|\Omega| = |X| \cdot |Y|$.

Ile jest wszystkich wyników, gdy losujemy z dwóch zbiorów

Wszystkich wyników jest tyle, ile uporządkowanych par $(x, y)$, gdzie $x \in X$ i $y \in Y$, czyli $|X| \cdot |Y|$. To reguła mnożenia: pierwszą liczbę wybierasz na $|X|$ sposobów, a do każdego z tych wyborów drugą liczbę na $|Y|$ sposobów, więc możliwości mnożą się, a nie dodają.

Dla zbiorów $X = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ i $Y = \{-2, -1, 0, 1\}$ z czerwca 2025 daje to $|\Omega| = 6 \cdot 4 = 24$ par. Nie $6 \cdot 6 = 36$, nie $4 \cdot 4 = 16$ i nie $6 + 4 = 10$. Każda z tych błędnych liczb psuje mianownik, więc psuje wynik nawet przy dobrze policzonym liczniku.

Pary są równoprawdopodobne, bo każde z dwóch losowań wybiera jeden element z całego zbioru, a drugie losowanie nie zależy od pierwszego. Dlatego wolno użyć modelu klasycznego: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$.

Ta sama reguła mnożenia liczy liczby czterocyfrowe o zadanych cyfrach i wyniki rzutu dwiema kostkami. Kostki to szczególny przypadek dwóch zbiorów: $X = Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ i $|\Omega| = 36$.

Dlaczego to nie jest n do kwadratu i po co kolejność w parze

Kwadrat $n^2$ pojawia się tylko wtedy, gdy oba losowania są z tego samego zbioru o $n$ elementach. Przy dwóch różnych zbiorach kolejność w parze jest ustalona przez zbiory, nie przez ciebie: pierwsza współrzędna zawsze pochodzi z $X$, druga zawsze z $Y$. Dlatego nie dzielisz przez $2$ i nie sięgasz po kombinacje, jak przy losowaniu bez zwracania.

Para $(2, 3)$ i para $(3, 2)$ są dwoma różnymi wynikami tylko wtedy, gdy obie da się w ogóle wylosować, czyli gdy $2$ i $3$ należą do obu zbiorów naraz. W zadaniu z czerwca 2025 zbiory zachodzą na siebie: $(1, -2)$ i $(-2, 1)$ to dwa różne wyniki, bo $1$ i $-2$ są i w $X$, i w $Y$. Ale $(2, -2)$ istnieje, a $(-2, 2)$ nie, bo $2$ nie należy do $Y$. Gdy zbiory są rozłączne, jak $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ i $D = \{7, 8, 9, 10\}$ z próbnej matury z grudnia 2024, pytanie o zamianę kolejności w ogóle nie powstaje: każda para ma małą liczbę na pierwszym miejscu i dużą na drugim.

Praktyczny wniosek: nigdy nie licz par „bez kolejności". Wypisujesz $(x, y)$ z $x$ z pierwszego zbioru, $y$ z drugiego, i tyle.

Jak policzyć pary sprzyjające

Pary sprzyjające liczysz tabelą, gdy zbiory są małe; przez rozbicie na rozłączne przypadki, gdy warunek dotyczy parzystości, znaku albo reszty z dzielenia; przez zdarzenie przeciwne, gdy łatwiej opisać pary, które warunku nie spełniają. Wszystkie trzy metody dają tę samą liczbę $|A|$, więc druga metoda jest darmową kontrolą pierwszej.

Weź $X = \{1, 2, 3\}$, $Y = \{4, 5, 6, 7\}$ i zdarzenie $A$: suma wylosowanych liczb jest parzysta. Wszystkich par jest $|\Omega| = 3 \cdot 4 = 12$.

Tabela par

W wierszach liczby z $X$, w kolumnach liczby z $Y$, w komórce suma $x + y$. Zaznaczasz komórki spełniające warunek i liczysz je.

Sum parzystych jest $6$, więc $P(A) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Tabela ma dokładnie $|X| \cdot |Y|$ komórek, więc przy okazji pilnuje mianownika, a egzaminator widzi każdą parę.

Rozbicie na przypadki

Suma jest parzysta, gdy obie liczby są parzyste albo obie nieparzyste. W $X$ są $2$ liczby nieparzyste i $1$ parzysta, w $Y$ po $2$ każdego rodzaju. Obie nieparzyste: $2 \cdot 2 = 4$ pary. Obie parzyste: $1 \cdot 2 = 2$ pary. Razem $|A| = 4 + 2 = 6$, zgodnie z tabelą.

Ten sam schemat działa dla każdego warunku, który zależy tylko od „rodzaju" liczby:

• •suma parzysta: obie parzyste lub obie nieparzyste; suma nieparzysta: różna parzystość,
• •iloczyn nieparzysty: obie nieparzyste; iloczyn parzysty: co najmniej jedna parzysta,
• •iloczyn dodatni: obie dodatnie lub obie ujemne; iloczyn ujemny: różne znaki,
• •iloczyn równy zero: choć jedna z liczb to $0$,
• •suma podzielna przez $3$: reszty z dzielenia obu liczb przez $3$ dopełniają się do $0$ lub $3$.

Przypadki muszą być rozłączne, żeby nie policzyć żadnej pary dwa razy. Największe ryzyko podwójnego liczenia niesie zero, bo para $(0, 0)$ należy jednocześnie do przypadku „$x = 0$" i „$y = 0$".

Zdarzenie przeciwne

Gdy warunek brzmi „co najmniej", „różny od" albo „nieujemny", policz pary, które go nie spełniają, i odejmij od $|\Omega|$. Dla sumy parzystej zdarzeniem przeciwnym jest suma nieparzysta: $2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 6$ par o różnej parzystości, więc $|A| = 12 - 6 = 6$. O tym, kiedy zdarzenie przeciwne skraca rachunek, przeczytasz osobno. W przykładzie 2 niżej właśnie ono zamienia cztery przypadki z zerem na dwa proste iloczyny.

Wzory

Każdy przypadek $A_i$ liczysz znowu regułą mnożenia: liczba pasujących $x$ razy liczba pasujących $y$. Cały rachunek to więc kilka iloczynów i jedna suma.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Cztery zadania z arkuszy z modelu klasycznego: rzut dwiema kostkami z iloczynem równym 12 (znowu pary, tym razem 36 wyników), dwa zadania o podzielności losowanej liczby dwucyfrowej i jedno z niewiadomą liczbą kul, w którym prawdopodobieństwo jest dane. Do tego dwa zadania z dwoma zbiorami z maja 2026 i czerwca 2025, tym razem na ich własnych stronach. Każde otwiera się z rozwiązaniem krok po kroku. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie działu Prawdopodobieństwo, a wariant z dwoma losowaniami z jednego zbioru we wpisie o losowaniu ze zwracaniem.

• Matura sierpień 2021Zadanie 342 pkt
  Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu oczek. Niech $A$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczb oczek wyrzuconych w dwóch rzutach jest równy $12$. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$.
• Matura próbna CKE marzec 2026Zadanie 321 pkt
  Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Zdarzenie $A$ polega na tym, że wylosujemy liczbę, która jest wielokrotnością liczby $34$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe
• Matura próbna marzec 2021Zadanie 271 pkt
  Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez $5$, jest równe
• Matura sierpień 2020Zadanie 312 pkt
  W pudełku jest $8$ kul, z czego $5$ białych i $3$ czarne. Do tego pudełka dołożono $n$ kul białych. Doświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z tego pudełka. Prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała, jest równe $\frac{11}{12}$. Oblicz $n$?
• Matura maj 2026Zadanie 332 pkt
  Dane są dwa zbiory cyfr: $X=\{1,3,5,7,9\}$ oraz $Y=\{0,2,4,6,8\}$. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru $X$, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru $Y$. Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru $X$ jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru $Y$ jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 6. Zapisz obliczenia.
• Matura czerwiec 2025Zadanie 332 pkt
  Dane są dwa zbiory: $X=\{-3,-2,-1,0,1,2\}$ oraz $Y=\{-2,-1,0,1\}$. Losujemy jedną liczbę ze zbioru $X$, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru $Y$ i tworzymy uporządkowaną parę liczb ( $x, y$ ), gdzie $x$ jest liczbą wylosowaną ze zbioru $X$ oraz $y$ jest liczbą wylosowaną ze zbioru $Y$. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb ( $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ ), która będzie spełniać warunek $\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y} \geq \mathbf{0}$. Zapisz obliczenia.

Następny krok Losuj kolejne zadanie z prawdopodobieństwa

Najczęstsze pytania o losowanie z dwóch zbiorów