Losowanie ze zwracaniem - prawdopodobieństwo, reguła mnożenia i zadania maturalne

Losowanie ze zwracaniem oznacza, że wylosowany element wraca do puli przed następnym losowaniem, więc każde losowanie odbywa się z tego samego, pełnego zbioru, a wyniki mogą się powtarzać. Jeśli ze zbioru $n$-elementowego losujesz $k$ razy po jednym elemencie ze zwracaniem, wszystkich możliwych wyników jest $n^k$; przy dwóch losowaniach to $n \cdot n = n^2$, a pojedynczym wynikiem jest uporządkowana para $(a, b)$, w której $a$ to pierwsza wylosowana liczba, a $b$ druga. Prawdopodobieństwo liczysz z definicji klasycznej: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$, gdzie $|A|$ to liczba par spełniających warunek zadania.

To jeden z najczęściej powtarzanych typów otwartego zadania z prawdopodobieństwa na maturze podstawowej. W bazie sprawnamatura polecenie "ze zbioru liczb losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem" znajdziesz w arkuszach z maja 2011, 2012, 2014, 2019, 2022, 2023 i 2024, z sierpnia 2017 i 2022 oraz w zestawie CKE 2025. Zmienia się tylko warunek: suma parzysta, iloczyn podzielny przez 15, iloczyn ujemny, pierwsza liczba większa od drugiej. Metoda jest zawsze ta sama i poniżej przechodzimy ją na ośmiu zadaniach z arkuszy.

Losowanie ze zwracaniem a losowanie bez zwracania

Przy losowaniu ze zwracaniem pula nie maleje: za każdym razem wybierasz spośród wszystkich $n$ elementów, więc para $(3, 3)$ jest pełnoprawnym wynikiem, a $(2, 5)$ i $(5, 2)$ to dwa różne wyniki. Przy losowaniu bez zwracania wylosowany element znika z puli, drugie losowanie ma już tylko $n - 1$ możliwości, a powtórzenie jest niemożliwe.

Porównaj na zbiorze $\{1, 2, 3, 4\}$:

• •ze zwracaniem, dwa losowania: $|\Omega| = 4 \cdot 4 = 16$ par, w tym cztery pary z powtórzeniem;
• •bez zwracania, dwa losowania po kolei: $|\Omega| = 4 \cdot 3 = 12$ par, bez powtórzeń;
• •bez zwracania, dwa elementy naraz (kolejność nieistotna): $|\Omega| = \binom{4}{2} = 6$ zbiorów.

Ten trzeci wariant, z kombinacjami, opisuję osobno w artykule o losowaniu bez zwracania. Tu zajmujemy się wyłącznie wariantem pierwszym, bo w treści zadania fraza "ze zwracaniem" rozstrzyga sprawę: kolejność ma znaczenie, powtórzenia są dozwolone, a wszystkich wyników jest $n^2$.

Ile jest wszystkich wyników - reguła mnożenia

Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych przy losowaniu ze zwracaniem liczysz regułą mnożenia: pierwsze losowanie ma $n$ możliwości, drugie też $n$, więc par jest $n \cdot n$. Przy $k$ losowaniach mnożysz $k$ razy i dostajesz $n^k$.

Kilka wartości, które pojawiają się w arkuszach: zbiór pięcioelementowy daje $25$ par, sześcioelementowy $36$, siedmioelementowy $49$, ośmioelementowy $64$, dziewięcioelementowy $81$. Dokładnie taką samą przestrzeń, $6 \cdot 6 = 36$, ma rzut dwiema kostkami: rzut drugą kostką to nic innego jak drugie losowanie ze zwracaniem ze zbioru $\{1, \ldots, 6\}$.

Tabela par - najpewniejszy sposób na zdarzenia sprzyjające

Najpewniejszą metodą policzenia zdarzeń sprzyjających jest tabela: w wierszach wypisujesz pierwszą wylosowaną liczbę, w kolumnach drugą, a w komórkach zaznaczasz, czy para spełnia warunek. Dla zbiorów do ośmiu elementów tabela ma najwyżej 64 pola i wypełnisz ją szybciej, niż zdążysz się pomylić w rozumowaniu na skróty.

Tak wygląda tabela iloczynów dla zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Pogrubione są iloczyny nieparzyste, czyli zdarzenia sprzyjające z przykładu 1 poniżej.

Pogrubionych pól jest dziewięć i układają się w regularny wzór: tylko wiersze i kolumny liczb nieparzystych. To podpowiada drugą metodę, szybszą, gdy warunek da się przetłumaczyć na własność każdej liczby osobno: zamiast zaznaczać pola, liczysz $3 \cdot 3 = 9$, bo trzy liczby nieparzyste w pierwszym losowaniu i trzy w drugim. Obie metody dają ten sam wynik, a tabela jest dodatkowo sprawdzeniem.

Przykład 1: iloczyn nieparzysty (matura maj 2019, zadanie 30)

Treść: Ze zbioru liczb $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

Krok 1: Liczba wszystkich wyników. Pięć liczb, dwa losowania ze zwracaniem: $|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$.

Krok 2: Przetłumacz warunek. Iloczyn jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Wystarczy jedna parzysta, żeby iloczyn był parzysty.

Krok 3: Zdarzenia sprzyjające. Nieparzyste w zbiorze: $1, 3, 5$, czyli trzy. Pierwsza nieparzysta na 3 sposoby, druga na 3 sposoby: $|A| = 3 \cdot 3 = 9$. Zgadza się z tabelą wyżej.

Krok 4: Prawdopodobieństwo.

Odpowiedź: $P(A) = \frac{9}{25}$.

Przykład 2: suma parzysta (matura maj 2024)

Treść: Dany jest pięcioelementowy zbiór $K = \{5, 6, 7, 8, 9\}$. Ze zbioru $K$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

Krok 1: Liczba wszystkich wyników. $|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$.

Krok 2: Przetłumacz warunek. Suma dwóch liczb jest parzysta, gdy obie są parzyste albo obie nieparzyste. Parzysta plus nieparzysta daje nieparzystą.

Krok 3: Zdarzenia sprzyjające. Parzyste w zbiorze: $6, 8$ (dwie liczby), nieparzyste: $5, 7, 9$ (trzy liczby).

Krok 4: Prawdopodobieństwo.

Odpowiedź: $P(A) = \frac{13}{25}$. Sprawdzenie przez zdarzenie przeciwne: par o sumie nieparzystej jest $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$, a $13 + 12 = 25$. Rachunek się domyka. Więcej o takim sprawdzaniu w artykule o zdarzeniu przeciwnym i sumie zdarzeń.

Przykład 3: iloczyn ujemny (matura sierpień 2022, zadanie 34)

Treść: Ze zbioru pięciu liczb $\{-5, -4, 1, 2, 3\}$ losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie $A$ polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$.

Krok 1: Liczba wszystkich wyników. $|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$.

Krok 2: Przetłumacz warunek. Iloczyn jest ujemny, gdy liczby mają różne znaki: jedna ujemna, druga dodatnia. W zbiorze są dwie liczby ujemne ($-5, -4$) i trzy dodatnie ($1, 2, 3$).

Krok 3: Zdarzenia sprzyjające. Kolejność ma znaczenie, więc liczysz dwa układy osobno:

• •pierwsza ujemna, druga dodatnia: $2 \cdot 3 = 6$ par,
• •pierwsza dodatnia, druga ujemna: $3 \cdot 2 = 6$ par.

Krok 4: Prawdopodobieństwo.

Odpowiedź: $P(A) = \frac{12}{25}$. Najczęstszy błąd to policzenie tylko $2 \cdot 3 = 6$ i wynik $\frac{6}{25}$. Para $(-5, 2)$ i para $(2, -5)$ to dwa różne wyniki losowania, więc oba trzeba zaliczyć.

Przykład 4: iloczyn równy 24 (matura maj 2022, zadanie 34)

Treść: Ze zbioru dziewięcioelementowego $M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie $A$ polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru $M$, których iloczyn jest równy $24$. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$.

Krok 1: Liczba wszystkich wyników. $|\Omega| = 9 \cdot 9 = 81$.

Krok 2: Wypisz pary. Szukasz par $(a, b)$ liczb od $1$ do $9$, dla których $a \cdot b = 24$. Rozkłady liczby $24$ na dwa czynniki: $1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$. Pierwsze dwa odpadają, bo $24$ i $12$ nie należą do zbioru.

Krok 3: Prawdopodobieństwo.

Odpowiedź: $P(A) = \frac{4}{81}$. Gdy warunek dotyczy konkretnej wartości iloczynu albo sumy, nie kombinuj z własnościami, po prostu wypisz pary. Pamiętaj tylko o obu kolejnościach.

Przykład 5: iloczyn podzielny przez 15 (matura maj 2023)

Treść: Ze zbioru ośmiu liczb $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez $15$.

Krok 1: Liczba wszystkich wyników. $|\Omega| = 8 \cdot 8 = 64$.

Krok 2: Przetłumacz warunek. Iloczyn jest podzielny przez $15 = 3 \cdot 5$, gdy jest podzielny przez $3$ i przez $5$. Jedyną liczbą w zbiorze podzielną przez $5$ jest $5$, więc jedna z wylosowanych liczb musi być piątką. Druga musi dostarczyć czynnik $3$: to $3$, $6$ albo $9$. Para $(5, 5)$ odpada, bo $25$ nie dzieli się przez $3$. O cechach podzielności warto pamiętać, bo to one skracają ten krok.

Krok 3: Zdarzenia sprzyjające.

Krok 4: Prawdopodobieństwo.

Odpowiedź: $P(A) = \frac{3}{32}$.

Przykład 6: pierwsza liczba większa od drugiej (zestaw CKE 2025)

Treść: Ze zbioru sześciu liczb $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że pierwsza wylosowana liczba będzie większa od drugiej wylosowanej liczby.

Krok 1: Liczba wszystkich wyników. $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$.

Krok 2: Symetria zamiast wypisywania. Wszystkie pary dzielą się na trzy grupy: $a > b$, $a < b$ oraz $a = b$. Par z równymi liczbami jest $6$: $(1, 1), (2, 2), \ldots, (6, 6)$. Pozostałe $36 - 6 = 30$ par rozkładają się po równo między "pierwsza większa" i "pierwsza mniejsza", bo każdej parze $(a, b)$ z $a > b$ odpowiada dokładnie jedna para $(b, a)$ z $a < b$.

Krok 3: Prawdopodobieństwo.

Odpowiedź: $P(A) = \frac{5}{12}$. Jeśli nie ufasz symetrii, policz wprost: dla $a = 2$ jedna para, dla $a = 3$ dwie, dla $a = 4$ trzy, dla $a = 5$ cztery, dla $a = 6$ pięć. Razem $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.

Przykład 7: suma podzielna przez 3 (matura maj 2011, zadanie 30)

Treść: Ze zbioru liczb $\{1, 2, 3, \ldots, 7\}$ losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez $3$.

Krok 1: Liczba wszystkich wyników. $|\Omega| = 7 \cdot 7 = 49$.

Krok 2: Podziel liczby według reszty z dzielenia przez 3. Reszta $0$: $3, 6$ (dwie liczby). Reszta $1$: $1, 4, 7$ (trzy liczby). Reszta $2$: $2, 5$ (dwie liczby). Suma jest podzielna przez $3$, gdy reszty dają razem $0$ albo $3$: obie liczby z reszty $0$, albo jedna z reszty $1$ i druga z reszty $2$.

Krok 3: Zdarzenia sprzyjające.

• •obie z reszty $0$: $2 \cdot 2 = 4$ pary,
• •pierwsza z reszty $1$, druga z reszty $2$: $3 \cdot 2 = 6$ par,
• •pierwsza z reszty $2$, druga z reszty $1$: $2 \cdot 3 = 6$ par.

Krok 4: Prawdopodobieństwo.

Odpowiedź: $P(A) = \frac{16}{49}$. Bez podziału na reszty musiałbyś sprawdzić 49 sum. Z podziałem liczysz trzy iloczyny. Ta sama sztuczka działa dla podzielności przez $4$ czy $5$, tylko grup reszt jest więcej.

Przykład 8: cztery losowania z dwóch kul (matura czerwiec 2018, zadanie 25)

Treść: W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe: A) $\frac{1}{16}$, B) $\frac{3}{8}$, C) $\frac{1}{4}$, D) $\frac{3}{4}$.

Krok 1: Liczba wszystkich wyników. Dwa kolory, cztery losowania: $|\Omega| = 2^4 = 16$.

Krok 2: Zdarzenia sprzyjające. Dokładnie trzy białe i jedna czarna, a czarna może wypaść w pierwszym, drugim, trzecim albo czwartym losowaniu:

Krok 3: Prawdopodobieństwo.

Odpowiedź: C. Przy większej liczbie losowań wypisywanie przestaje być praktyczne i wchodzi schemat Bernoulliego: $\binom{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$. To ten sam wynik, bo losowanie ze zwracaniem to dokładnie ciąg niezależnych prób.

Poćwicz na zadaniach z bazy

Trzy kolejne zadania z tym samym poleceniem, ale innym warunkiem: iloraz całkowity, iloczyn podzielny przez 6 i różnica o zadaną wartość. Rozwiąż je tabelą albo regułą mnożenia i porównaj z pełnym rozwiązaniem w aplikacji.

Wszystkie zadania z tego działu zbiera strona Prawdopodobieństwo, a jeśli chcesz zobaczyć, jak to polecenie wyglądało w całym arkuszu, otwórz maturę maj 2024 albo maturę maj 2023.

Typowe pułapki

• •Liczysz $n \cdot (n-1)$ zamiast $n^2$. "Ze zwracaniem" oznacza, że druga liczba może być taka sama jak pierwsza. Dla zbioru pięcioelementowego to 25 par, nie 20.
• •Zaliczasz parę tylko w jednej kolejności. $(5, 3)$ i $(3, 5)$ to dwa wyniki. W przykładach 3, 4 i 5 pominięcie drugiej kolejności obcina wynik o połowę.
• •Zapominasz o parze z powtórzeniem. $(5, 5)$ istnieje i trzeba sprawdzić, czy spełnia warunek. W przykładzie 5 nie spełnia, w przykładzie 2 para $(6, 6)$ spełnia.
• •Mylisz "podzielny przez 15" z "podzielny przez 3 lub przez 5". Iloczyn ma być podzielny przez oba czynniki naraz. Rozłóż liczbę na czynniki pierwsze, zanim zaczniesz wypisywać.
• •Nie skracasz ułamka albo skracasz błędnie. $\frac{6}{64}$ to $\frac{3}{32}$, $\frac{15}{36}$ to $\frac{5}{12}$. Sprawdź, czy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika.
• •Rysujesz drzewko na 25 gałęzi. Drzewko jest świetne przy dwóch, trzech możliwościach w każdym losowaniu, ale przy pięciu liczbach i dwóch losowaniach tabela jest czytelniejsza i szybsza. Podstawy obu metod powtórzysz w artykule o tym, jak obliczyć prawdopodobieństwo.

Co musisz umieć - checklista

• •Rozpoznać "ze zwracaniem" i od razu zapisać $|\Omega| = n^2$ (albo $n^k$ dla $k$ losowań).
• •Przetłumaczyć warunek na własność liczb: parzystość, znak, reszta z dzielenia, konkretna wartość.
• •Policzyć zdarzenia sprzyjające regułą mnożenia (gdy warunek rozpada się na własność każdej liczby) albo tabelą par (gdy nie).
• •Uwzględnić obie kolejności i pary z powtórzeniem.
• •Sprawdzić wynik przez zdarzenie przeciwne albo symetrię.
• •Zapisać odpowiedź jako ułamek nieskracalny z wyraźnie zaznaczonym $|\Omega|$, $|A|$ i $P(A)$.

Najczęstsze pytania