Schemat Bernoulliego na maturze - wzór, prawdopodobieństwo sukcesu i zadania krok po kroku

Po czym poznać, że to schemat Bernoulliego

Zanim przejdziesz do ogólnego przewodnika po prawdopodobieństwie, warto poznać jeden konkretny sygnał, który powinien Ci się zapalić w głowie na widok zadania: powtarzamy to samo doświadczenie kilka razy, niezależnie, i pytamy o dokładnie k sukcesów. Rzucamy monetą 3 razy - dokładnie 2 orły. Rzucamy kostką 4 razy - dokładnie 1 szóstka. Losujemy kulę ze zwracaniem 5 razy - dokładnie 3 białe. Za każdym razem, gdy widzisz te słowa kluczowe („rzucamy n razy”, „losujemy ze zwracaniem”, „dokładnie k razy”), masz do czynienia ze schematem Bernoulliego, i zamiast liczyć wszystko ręcznie, możesz użyć jednego gotowego wzoru.

Problem w tym, że mnóstwo uczniów próbuje takie zadania rozwiązywać przez rysowanie drzewka albo wypisywanie wszystkich możliwości - da się tak zrobić dla 3 rzutów monetą, ale robi się to niewykonalne przy 5 czy 6 powtórzeniach. Ten wzór jest właśnie po to, żeby tego uniknąć.

Warunki schematu Bernoulliego

Schemat Bernoulliego stosujesz, gdy spełnione są trzy warunki:

1. 1.Doświadczenie powtarzamy $n$ razy, niezależnie od siebie (wynik jednej próby nie wpływa na kolejną - dlatego losowanie musi być ze zwracaniem, a nie bez zwracania).
2. 2.W każdej próbie są tylko dwa możliwe wyniki: sukces albo porażka.
3. 3.Prawdopodobieństwo sukcesu $p$ jest takie samo w każdej próbie (a prawdopodobieństwo porażki to zawsze $1-p$).

Jeśli te trzy warunki są spełnione, prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie $k$ sukcesów w $n$ próbach wynosi:

$P(X=k) = \\binom{n}{k} \\cdot p^k \\cdot (1-p)^{n-k}$

gdzie $\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k! \\cdot (n-k)!}$ to liczba sposobów, na jakie możesz wybrać, które $k$ spośród $n$ prób jest sukcesami (przypomnienie tego wzoru znajdziesz w przewodniku po kombinatoryce, bo to dokładnie ta sama liczba, co przy wyborze podzbioru).

Skąd bierze się ten wzór? Każdy konkretny ciąg wyników z dokładnie $k$ sukcesami i $n-k$ porażkami ma to samo prawdopodobieństwo $p^k (1-p)^{n-k}$ (bo próby są niezależne, więc mnożysz prawdopodobieństwa). A takich ciągów jest dokładnie $\\binom{n}{k}$ - tyle, ile sposobów rozmieszczenia $k$ sukcesów na $n$ pozycjach. Mnożysz jedno przez drugie i masz cały wzór.

Skąd dokładnie bierze się ten wzór - wyprowadzenie na małej próbce

Zanim przejdziemy do większych przykładów, warto zobaczyć ten wzór „od kuchni”, bo wtedy naprawdę zapamiętasz, po co jest w nim akurat symbol Newtona. Weźmy 3 rzuty monetą i policzmy prawdopodobieństwo dokładnie 2 orłów, ale tym razem bez wzoru, tylko wypisując wszystko ręcznie.

Każdy wynik to ciąg trzech liter, O (orzeł) albo R (reszka). Interesują nas ciągi z dokładnie dwoma O. Są to: OOR, ORO, ROO. Zauważ, że każdy z tych trzech ciągów ma dokładnie takie samo prawdopodobieństwo, bo próby są niezależne: prawdopodobieństwo dowolnego konkretnego ciągu trzech rzutów to $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8}$, niezależnie od tego, w jakiej kolejności wypadły orły i reszki. Skoro pasujących ciągów jest 3, to całe prawdopodobieństwo to $3 \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{3}{8}$.

A skąd wiadomo, że pasujących ciągów jest akurat 3, bez wypisywania ich ręcznie? To jest dokładnie pytanie: „na ile sposobów mogę wybrać, które 2 z 3 rzutów są orłami?” - a to jest $\\binom{3}{2} = 3$, czyli ta sama liczba, którą liczysz przy wyborze podzbioru w kombinatoryce. Dla większych $n$ i $k$ wypisywanie ciągów ręcznie przestaje być wykonalne, ale zasada zostaje dokładnie ta sama: liczba pasujących ciągów razy prawdopodobieństwo jednego ciągu.

Wartość oczekiwana - ile sukcesów „średnio” wypada

Oprócz prawdopodobieństwa dokładnie $k$ sukcesów, w schemacie Bernoulliego czasem pojawia się pytanie o wartość oczekiwaną, czyli średnią liczbę sukcesów, jakiej możesz się spodziewać przy wielokrotnym powtarzaniu całego doświadczenia. Wzór jest bardzo prosty:

$E(X) = n \\cdot p$

Na przykład dla 4 rzutów kostką i sukcesu „wypadła szóstka” ($p = \\frac{1}{6}$), oczekiwana liczba szóstek to $E(X) = 4 \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{2}{3}$. To nie oznacza, że w konkretnym eksperymencie wypadnie „dwie trzecie szóstki” - to średnia z bardzo wielu powtórzeń całego doświadczenia (czyli wielu serii po 4 rzuty), a nie wynik pojedynczej serii.

Częste błędy i pułapki

• •Stosowanie wzoru, gdy losowanie jest bez zwracania. Bez zwracania prawdopodobieństwo sukcesu zmienia się w kolejnych próbach, więc warunki schematu Bernoulliego nie są spełnione - trzeba liczyć inaczej (przez prawdopodobieństwo klasyczne albo drzewko).
• •Mylenie $p$ z $1-p$. Zawsze najpierw jasno określ, co jest „sukcesem” w danym zadaniu, i dopiero potem podstawiaj do wzoru.
• •Zapominanie o współczynniku $\\binom{n}{k}$. Samo $p^k(1-p)^{n-k}$ to prawdopodobieństwo jednego konkretnego ciągu wyników, a nie wszystkich możliwych ustawień - bez tego mnożnika wynik będzie za mały.
• •Błędne sumowanie przy „co najmniej” i „co najwyżej”. Trzeba policzyć osobno prawdopodobieństwo dla każdej wartości $k$ objętej warunkiem i je zsumować, a nie tylko dla jednej wartości brzegowej.
• •Pomijanie sprawdzenia dziedziny parametru w zadaniach odwrotnych (jak Przykład 5) - oba pierwiastki równania mogą być poprawną odpowiedzią.
• •Liczenie „co najmniej jeden sukces” przez sumowanie wielu przypadków zamiast przez zdarzenie przeciwne. Przy większym $n$ to niepotrzebnie długie i łatwo o pomyłkę - użyj $P(X \\ge 1) = 1 - P(X=0)$.
• •Mylenie wartości oczekiwanej $E(X) = np$ z prawdopodobieństwem $P(X=k)$. To dwa różne pytania: jedno pyta o średnią liczbę sukcesów, drugie o konkretne prawdopodobieństwo.

Co musisz umieć - checklista

Jeśli chcesz utrwalić rachunek na kombinacjach, wróć do przewodnika po kombinatoryce albo przejrzyj pełną bazę zadań CKE z prawdopodobieństwa. Warto też poznać prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa - to kolejny typ zadań, w którym łatwo się pogubić bez jasnego schematu. A jeśli szukasz więcej ćwiczeń z rachunkiem krok po kroku, rozwiąż zadania testowe online.

Następny krok Losuj kolejne zadanie