W pojemniku jest 10 kul, w tym b kul białych i 10-b kul czarnych, gdzie b ≠ 5. Z tego pojemnika losujemy dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem. Wykaż, że prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy dwie kule tego samego koloru, jest większe od 1/2.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że prawdopodobieństwo jest większe od 1/2
Oznaczmy liczbę kul białych jako b, a liczbę kul czarnych jako 10-b, gdzie b ∈ {0, 1, 2, ..., 10} i b ≠ 5.
Krok 1: Prawdopodobieństwa wylosowania poszczególnych kolorów
Przy jednym losowaniu: - prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej: P(B) = b/10 - prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej: P(C) = (10-b)/10
Krok 2: Prawdopodobieństwo zdarzenia "dwie kule tego samego koloru"
Zdarzenie to zachodzi, gdy: - wylosujemy dwie białe kule, lub - wylosujemy dwie czarne kule
Ponieważ losujemy ze zwracaniem, losowania są niezależne:
P(ten sam kolor) = P(BB) + P(CC)
P(ten sam kolor) = P(B) · P(B) + P(C) · P(C)
P(ten sam kolor) = (b/10)² + ((10-b)/10)²
Krok 3: Przekształcenie wyrażenia
P(ten sam kolor) = (b² + (10-b)²)/100
Rozwijamy (10-b)²:
P(ten sam kolor) = (b² + 100 - 20b + b²)/100 = (2b² - 20b + 100)/100
Krok 4: Wykazanie nierówności
Musimy pokazać, że (2b² - 20b + 100)/100 > 1/2
2b² - 20b + 100 > 50
2b² - 20b + 50 > 0
b² - 10b + 25 > 0
(b-5)² > 0
Krok 5: Wnioskowanie
Nierówność (b-5)² > 0 jest prawdziwa dla wszystkich b ≠ 5.
Ponieważ z założenia zadania b ≠ 5, nierówność jest spełniona, co oznacza, że:
P(ten sam kolor) > 1/2
Co należało wykazać. ∎
Prawdopodobieństwo: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, drzewa stochastyczne, zdarzenia przeciwne i doświadczenia losowe z arkuszy maturalnych.