Rzut dwiema kostkami - prawdopodobieństwo i tabela 36 wyników

Przy dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką liczba wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$, a prawdopodobieństwo liczysz ze wzoru klasycznego $P(A) = \frac{|A|}{36}$. Cała robota w takim zadaniu sprowadza się do policzenia par $(x, y)$, które spełniają warunek z treści. Najszybszy sposób to tabela 6 na 6, w której wierszem jest wynik pierwszego rzutu, kolumną wynik drugiego, a w środku wpisujesz to, o co pyta zadanie: sumę, iloczyn albo samą parę.

Kostki to jeden z najpewniejszych tematów na maturze. W bazie 2376 zadań CKE i arkuszy próbnych mamy 108 zadań z Prawdopodobieństwa, z czego 26 dotyczy rzutu kostką, a 15 wprost dwukrotnego rzutu. Ten sam schemat wraca rok po roku: maj 2020, maj 2021, sierpień 2021, sierpień 2022, próbna CKE grudzień 2023, czerwiec 2024, maj 2025, sierpień 2025. Nauczysz się jednej tabeli i zamykasz cały ten zestaw.

Dlaczego zawsze 36, a nie 21

Bo kolejność rzutów ma znaczenie. Para $(2, 5)$ to inny wynik niż $(5, 2)$, nawet jeśli suma jest ta sama. Formalnie stosujesz regułę mnożenia: w pierwszym rzucie 6 możliwości, w drugim niezależnie 6 możliwości, więc razem $6 \cdot 6 = 36$.

Uczniowie, którzy liczą 21, traktują wynik jako nieuporządkowany zbiór dwóch liczb. To jest błąd, bo model z 21 możliwościami nie jest równoprawdopodobny: parę $(2,5)$ da się otrzymać na dwa sposoby, a parę $(3,3)$ tylko na jeden. Wzór klasyczny $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ wolno stosować wyłącznie wtedy, gdy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, a to jest prawdą tylko w modelu z 36 uporządkowanymi parami. Więcej o samym założeniu równoprawdopodobieństwa znajdziesz we wpisie o definicji klasycznej prawdopodobieństwa i drzewkach.

Tabela 36 wyników: sumy oczek

W komórkach wpisana jest suma oczek z obu rzutów. Wiersz to pierwszy rzut, kolumna to drugi.

Z tej jednej tabeli odczytasz rozkład wszystkich sum:

Sprawdzenie: $1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36$. Zapamiętaj kształt tego rozkładu: rośnie do siódemki i symetrycznie opada. Suma 7 jest najbardziej prawdopodobna ($\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$), sumy 2 i 12 najmniej. Ta wiedza pozwala w kilka sekund odrzucić błędne odpowiedzi w zadaniu zamkniętym.

Skrót, który warto znać: liczba par dających sumę $s$ dla $s \le 7$ wynosi $s - 1$, a dla $s \ge 7$ wynosi $13 - s$.

Zadanie 35: suma oczek równa 11 (Matura maj 2025) ↗

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od 1 do 6. Zdarzenie $A$ polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa $11$. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe:

A. $\frac{1}{36}$ B. $\frac{6}{36}$ C. $\frac{11}{36}$ D. $\frac{2}{36}$

Krok 1: policz zdarzenia elementarne

$|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$

Krok 2: wypisz pary dające sumę 11

Z tabeli: $(5,6)$ oraz $(6,5)$. Zatem $|A| = 2$.

Krok 3: podstaw do wzoru

$P(A) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Odpowiedź: D

Uwaga na format odpowiedzi. CKE podaje tu $\frac{2}{36}$ bez skracania, a odpowiedź C to klasyczna pułapka na osobę, która przepisze liczbę z treści zadania do licznika. Zadanie pochodzi z arkusza matury majowej 2025.

Zadanie 34: suma równa 4 lub 5 lub 6 (Matura maj 2021) ↗

Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa $4$ lub $5$ lub $6$.

Krok 1: policz zdarzenia elementarne

$|\Omega| = 36$

Krok 2: policz pary dla każdej sumy osobno

Suma 4: $(1,3), (2,2), (3,1)$, czyli 3 pary.
Suma 5: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$, czyli 4 pary.
Suma 6: $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$, czyli 5 par.

Razem $|A| = 3 + 4 + 5 = 12$.

Krok 3: policz prawdopodobieństwo

$P(A) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

To zadanie za 2 punkty, więc na arkuszu musisz zapisać obliczenia: model (36 zdarzeń), wypisane pary i wynik. Sam wynik bez uzasadnienia nie dostanie pełnej punktacji. Zasady przyznawania punktów w zadaniach otwartych rozpisaliśmy we wpisie o tym, jak punktowane są zadania maturalne.

Zauważ, jak szybko idzie to z rozkładu sum: dla sum 4, 5 i 6 odczytujesz z tabeli 3, 4 i 5 par, dodajesz i masz 12. Nie musisz wypisywać nic ręcznie, jeśli tabelę masz w głowie.

Zadanie 30: co najmniej jedna piątka (Matura maj 2020) ↗

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Krok 1: rozpoznaj sformułowanie "co najmniej"

W pierwszym rzucie piątka: 6 par postaci $(5, y)$. W drugim rzucie piątka: 6 par postaci $(x, 5)$. Para $(5,5)$ należy do obu grup, więc policzyłbyś ją dwa razy.

$|A| = 6 + 6 - 1 = 11$

Krok 2: podstaw do wzoru

$P(A) = \frac{11}{36}$

Krok 3: sprawdź zdarzeniem przeciwnym

Zdarzenie przeciwne to "ani razu nie wypadła piątka", czyli w każdym rzucie jeden z 5 pozostałych wyników:

$P(A') = \frac{5 \cdot 5}{36} = \frac{25}{36}, \qquad P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

Wyniki się zgadzają. Metoda przez zdarzenie przeciwne jest w tym typie zadania szybsza i mniej podatna na błąd, bo nie musisz pamiętać o odjęciu podwójnie policzonej pary. Rozwinięcie tej techniki znajdziesz we wpisie o zdarzeniu przeciwnym i sumie zdarzeń.

Zadanie 32: iloczyn oczek jest nieparzysty (Matura próbna CKE grudzień 2023) ↗

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe:

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{5}$ C. $\frac{1}{4}$ D. $\frac{3}{4}$

Krok 1: przetłumacz warunek na język liczb

Iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie są nieparzyste. Wystarczy jedna liczba parzysta, żeby iloczyn był parzysty.

Krok 2: użyj reguły mnożenia zamiast wypisywania

Na kostce są trzy liczby nieparzyste: 1, 3, 5. Zatem $|A| = 3 \cdot 3 = 9$.

Krok 3: policz prawdopodobieństwo

$P(A) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Odpowiedź: C

To najlepszy przykład na to, że tabelę czasem warto zostawić w spokoju. Gdy warunek da się rozłożyć na niezależne warunki dla pierwszego i drugiego rzutu, mnożysz liczby możliwości i kończysz w jednej linijce.

Zadanie 39: pierwszy rzut większy niż drugi (Matura czerwiec 2024) ↗

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.

Krok 1: policz pary systematycznie

Dla pierwszego rzutu równego 2 jest 1 para, dla 3 są 2 pary, dla 4 są 3 pary, dla 5 są 4 pary, dla 6 jest 5 par:

$|A| = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

Krok 2: policz prawdopodobieństwo

$P(A) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

Krok 3: sprawdź symetrią

Wszystkie 36 par dzieli się na trzy grupy: pierwszy większy, drugi większy i remis. Remisów jest 6, czyli pary $(1,1)$ do $(6,6)$. Zostaje $36 - 6 = 30$ par, które z symetrii dzielą się po równo na dwie grupy: $30 : 2 = 15$. Wynik ten sam.

Ta kontrola symetrią to najszybsza metoda w całym temacie i warto ją mieć w głowie na maturze. Więcej sposobów sprawdzania wyniku zebraliśmy we wpisie o weryfikacji odpowiedzi na maturze.

Zadanie 38: liczba dwucyfrowa z dwóch rzutów (Matura sierpień 2025) ↗

Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową: pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga cyfrą jedności. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że otrzymana liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez $3$.

Krok 1: zawęź cyfrę jedności

Liczba ma być nieparzysta, więc cyfra jedności to 1, 3 albo 5. Cyfra dziesiątek to dowolna z 1 do 6.

Krok 2: wypisz kandydatów i sprawdź podzielność przez 3

Kandydaci: 11, 13, 15, 21, 23, 25, 31, 33, 35, 41, 43, 45, 51, 53, 55, 61, 63, 65. Podzielne przez 3 (suma cyfr dzieli się przez 3): $15, 21, 33, 45, 51, 63$.

$|A| = 6$

Krok 3: policz prawdopodobieństwo

$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Uwaga: tu kolejność rzutów ma znaczenie podwójnie, bo liczba 15 to inny wynik niż 51. Oba akurat spełniają warunek, ale nie zawsze tak jest. Jeśli chcesz przećwiczyć samą podzielność przez 3 i 9, zajrzyj do wpisu o cechach podzielności i resztach.

Zadanie 28: gdy liczy się tylko drugi rzut (Matura sierpień 2022) ↗

Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez $3$. Wtedy:

A. $p = \frac{1}{18}$ B. $p = \frac{1}{6}$ C. $p = \frac{1}{3}$ D. $p = \frac{2}{3}$

Krok 1: zauważ, że pierwszy rzut nie ma znaczenia

Rzuty są niezależne. Warunek dotyczy wyłącznie drugiego rzutu, więc model redukuje się do 6 wyników.

Krok 2: policz sprzyjające

Podzielne przez 3 są 3 i 6, czyli 2 wyniki.

$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Odpowiedź: C

Model z 36 parami też zadziała: par postaci $(x, 3)$ i $(x, 6)$ jest $6 + 6 = 12$, a $\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$. Ten sam wynik, tylko dłuższą drogą. Odpowiedź A to pułapka na osobę, która niepotrzebnie podzieli przez 36 i jeszcze pomnoży przez prawdopodobieństwo pierwszego rzutu.

Zadanie 37: trzy rzuty, czyli 216 zamiast 36 (Matura próbna luty 2026) ↗

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką. Zdarzenie $A$ polega na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy $8$. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe:

A. $\frac{1}{216}$ B. $\frac{6}{216}$ C. $\frac{7}{216}$ D. $\frac{8}{216}$

Krok 1: zmień model

Przy trzech rzutach $|\Omega| = 6^3 = 216$. Reguła mnożenia działa tak samo, tylko z trzema czynnikami.

Krok 2: rozłóż 8 na trzy czynniki z zakresu 1 do 6

Możliwe zestawy: $\{1, 2, 4\}$ oraz $\{2, 2, 2\}$. Zestaw $\{1, 1, 8\}$ odpada, bo 8 nie mieści się na kostce.

Krok 3: policz uporządkowane trójki

Zestaw $\{1,2,4\}$ ma trzy różne liczby, więc daje $3! = 6$ uporządkowanych trójek. Zestaw $\{2,2,2\}$ daje tylko 1 trójkę.

$|A| = 6 + 1 = 7, \qquad P(A) = \frac{7}{216}$

Odpowiedź: C

To zadanie z arkusza próbnego CKE z lutego 2026 pokazuje, gdzie schemat 36 wyników przestaje wystarczać. Tabela ma tylko dwa wymiary, więc przy trzech rzutach przechodzisz na wypisywanie zestawów i liczenie ich permutacji. Jak liczyć permutacje zestawów z powtórzeniami, opisaliśmy we wpisie o permutacjach, wariacjach i kombinacjach.

Typowe pułapki

Liczenie 21 zamiast 36. Kolejność rzutów zawsze ma znaczenie, nawet gdy zadanie pyta o sumę.

Zapominanie o parach odwrotnych. Jeśli warunek spełnia $(2,6)$, to sprawdź, czy spełnia go też $(6,2)$. Przy iloczynie 12 sprzyjające są $(2,6), (3,4), (4,3), (6,2)$, czyli 4 pary, a nie 2.

Podwójne liczenie przy "co najmniej". Para $(5,5)$ należy jednocześnie do "piątka w pierwszym rzucie" i "piątka w drugim rzucie". Albo odejmij ją raz, albo licz przez zdarzenie przeciwne.

Skracanie ułamka wbrew odpowiedziom. W zadaniach zamkniętych CKE często zostawia mianownik 36. Zanim zaznaczysz, sprawdź, w jakiej postaci podano warianty.

Mylenie sumy z iloczynem. Przeczytaj treść dwa razy. Suma i iloczyn dają zupełnie inne zbiory par przy tej samej liczbie 12.

Traktowanie rzutów jako zależnych. Kostka nie ma pamięci. Wynik pierwszego rzutu nie zmienia prawdopodobieństw w drugim, więc do zadań warunkowych typu "wiedząc, że w pierwszym wypadła szóstka" wystarczy zredukować model, a nie kombinować ze wzorem Bayesa.

Najczęstsze pytania

Ile jest wszystkich możliwych wyników przy rzucie dwiema kostkami?
Jest 36 wyników, bo w każdym rzucie mamy 6 możliwości i stosujemy regułę mnożenia: 6 razy 6. Liczymy pary uporządkowane, więc wynik (2,5) jest inny niż (5,2). To model, w którym wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, i tylko w takim wolno stosować wzór klasyczny.

Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy 7 dwiema kostkami?
Wynosi 6/36, czyli 1/6. Sumę 7 daje sześć par: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Suma 7 jest najbardziej prawdopodobna ze wszystkich sum, bo ma najwięcej par.

Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch szóstek?
Wynosi 1/36. Sprzyjająca jest tylko jedna para (6,6), a wszystkich wyników jest 36. Tak samo 1/36 wynosi prawdopodobieństwo dowolnej innej konkretnej pary, na przykład (3,4).

Czy przy dwóch kostkach kolejność ma znaczenie?
Tak, i to jest najważniejsza rzecz w całym temacie. Wyniki (2,5) i (5,2) to dwa różne zdarzenia elementarne. Gdybyś ich nie rozróżniał, dostałbyś 21 możliwości, ale nie byłyby jednakowo prawdopodobne i wzór klasyczny przestałby działać.

Jak liczyć zadania ze słowem "co najmniej"?
Najwygodniej przez zdarzenie przeciwne. Prawdopodobieństwo, że coś zajdzie co najmniej raz, to jeden minus prawdopodobieństwo, że nie zajdzie ani razu. Dla co najmniej jednej piątki w dwóch rzutach liczysz 1 minus 25/36 i dostajesz 11/36.

Ile jest wyników przy trzykrotnym rzucie kostką?
Jest 216 wyników, bo 6 do potęgi trzeciej. Przy trzech rzutach tabela dwuwymiarowa przestaje wystarczać, więc wypisujesz zestawy liczb spełniające warunek i liczysz, na ile sposobów da się je ustawić w kolejności.

Czy takie zadanie jest za 1 czy za 2 punkty?
Obie wersje występują. Wariant zamknięty za 1 punkt wymaga tylko poprawnego wyniku, a wariant otwarty za 2 punkty wymaga zapisania obliczeń: podania liczby zdarzeń elementarnych, uzasadnienia liczby zdarzeń sprzyjających i podstawienia do wzoru.

Checklista: co musisz umieć

• •Zapisać model: $|\Omega| = 36$ przy dwóch rzutach, $216$ przy trzech, i uzasadnić to regułą mnożenia.
• •Odtworzyć tabelę 6 na 6 i odczytać z niej rozkład sum od 2 do 12.
• •Policzyć zdarzenia sprzyjające dwiema drogami: wypisaniem par i regułą mnożenia.
• •Zamienić warunek "co najmniej" na zdarzenie przeciwne.
• •Zapisać rozwiązanie zadania otwartego tak, żeby dostać oba punkty, a nie jeden.
• •Sprawdzić wynik symetrią albo drugą metodą, zanim przejdziesz dalej.

Cały zestaw zadań z kostkami wraz z rozwiązaniami znajdziesz w bazie zadań z Prawdopodobieństwa, gdzie 108 zadań CKE jest posortowanych tematycznie. Warto też przerobić zadania CKE z prawdopodobieństwa z pełnymi rozwiązaniami oraz wpis o losowaniu bez zwracania, bo to drugi najczęstszy schemat w tym dziale. Jeśli powtarzasz teraz szerzej, drugim tematem, w którym punkt zdobywa się w minutę, są bryły obrotowe i rozpoznawanie, co powstaje z obrotu figury.

Sprawdź się od razu: odpal losowe zadanie z bazy CKE i policz, ile zajmie ci ustawienie modelu z 36 wynikami bez zaglądania do rozwiązania.