Kombinatoryka na maturze - permutacje, wariacje, kombinacje i reguła mnożenia z zadaniami

Kombinatoryka - jak liczyć bez liczenia

Kombinatoryka to dział, który sprawia maturzystom najwięcej problemów - nie dlatego, że jest trudny, ale dlatego, że nie wiadomo, który wzór zastosować. Permutacja, wariacja czy kombinacja? Ten przewodnik da ci jasny algorytm decyzyjny.

W naszej bazie zadań z kombinatoryki mamy ponad 40 zadań z prawdziwych arkuszy CKE. Kombinatoryka bezpośrednio łączy się z prawdopodobieństwem - większość zadań z prawdopodobieństwa wymaga obliczania liczby przypadków kombinatorycznie.

Reguła mnożenia i dodawania

Reguła mnożenia

Jeśli jedno zdarzenie może zajść na $m$ sposobów, a drugie (niezależnie) na $n$ sposobów, to oba mogą zajść na $m \cdot n$ sposobów.

Przykład: Na obiad do wyboru 3 zupy i 5 dań głównych. Ile zestawów? $3 \cdot 5 = 15$.

Reguła dodawania

Jeśli zdarzenia się wykluczają (albo jedno, albo drugie), to łączna liczba możliwości to suma.

Przykład: Jedzie pociąg (3 połączenia) albo autobus (2 połączenia). Ile sposobów dojazdu? $3 + 2 = 5$.

Klucz: mnożenie = "i", dodawanie = "lub".

Silnia

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

Skracanie: $\frac{7!}{5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42$

Permutacje - wszystko na wszystkie miejsca

Definicja: Permutacja to uporządkowanie wszystkich $n$ elementów.

$P_n = n!$ Przykład: Na ile sposobów można ustawić 5 książek na półce?
$P_5 = 5! = 120$

Kiedy to permutacja?

• •Masz $n$ elementów
• •Ustawiasz wszystkie w rząd
• •Kolejność ma znaczenie

Wariacje bez powtórzeń - część na uporządkowane miejsca

Definicja: Wariacja bez powtórzeń to wybranie $k$ elementów z $n$ z uwzględnieniem kolejności.

$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ Przykład: Na ile sposobów można wybrać prezydenta, wiceprezydenta i skarbnika z grupy 10 osób?
$V_{10}^3 = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$

Kiedy to wariacja?

• •Masz $n$ elementów
• •Wybierasz $k$ z nich ($k < n$)
• •Kolejność ma znaczenie (prezydent $\neq$ wiceprezydent)

Wariacje z powtórzeniami

Definicja: Wariacja z powtórzeniami to uporządkowany wybór $k$ elementów z $n$, gdzie elementy mogą się powtarzać.

$\bar{V}_n^k = n^k$ Przykład: Ile jest 4-cyfrowych kodów PIN (cyfry 0-9)?
$\bar{V}_{10}^4 = 10^4 = 10000$

Kiedy wariacja z powtórzeniami?

• •Masz $n$ elementów
• •Wybierasz $k$ z nich
• •Kolejność ma znaczenie
• •Elementy mogą się powtarzać (np. cyfry kodu)

Kombinacje - część bez kolejności

Definicja: Kombinacja to wybranie $k$ elementów z $n$ bez uwzględnienia kolejności.

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ Przykład: Na ile sposobów wybrać 3 osoby z grupy 10 do drużyny?
$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$

Kiedy to kombinacja?

• •Masz $n$ elementów
• •Wybierasz $k$ z nich ($k \leq n$)
• •Kolejność NIE ma znaczenia (drużyna to drużyna, niezależnie kto był wybrany pierwszy)

Algorytm decyzyjny - który wzór wybrać?

Odpowiedz na pytania po kolei:

1. Czy elementy mogą się powtarzać?

• •TAK -> wariacja z powtórzeniami: $n^k$
• •NIE -> przejdź do pytania 2

2. Czy bierzemy wszystkie elementy?

• •TAK -> permutacja: $n!$
• •NIE -> przejdź do pytania 3

3. Czy kolejność ma znaczenie?

• •TAK -> wariacja bez powtórzeń: $\frac{n!}{(n-k)!}$
• •NIE -> kombinacja: $\binom{n}{k}$

Ten algorytm rozwiązuje 90% problemów z kombinatoryką na maturze.

Symbol Newtona - własności

$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ $\binom{n}{1} = n$ $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

Ta ostatnia własność jest przydatna obliczeniowo: $\binom{20}{18} = \binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$.

Symbolu Newtona używamy też w dwumianie Newtona - przydatnym w wyrażeniach algebraicznych i potęgach.

Kombinatoryka a prawdopodobieństwo

Na maturze kombinatoryka prawie nigdy nie pojawia się sama - jest narzędziem do obliczania prawdopodobieństwa:

$P(A) = \frac{\text{liczba przypadków sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich przypadków}}$

Zarówno licznik, jak i mianownik obliczamy metodami kombinatorycznymi. Dlatego opanowanie permutacji, wariacji i kombinacji jest warunkiem rozwiązania zadań z prawdopodobieństwa.

Jak ćwiczyć

1. 1.Rozwiąż ponad 40 zadań z kombinatoryki z naszej bazy CKE
2. 2.Przećwicz zadania z prawdopodobieństwa - bezpośrednie zastosowanie
3. 3.Naucz się algorytmu decyzyjnego i stosuj go mechanicznie
4. 4.Rozwiąż arkusz z maja 2025 i marca 2026
5. 5.Przetestuj się w symulatorze matury

Kombinatoryka jest prosta, jeśli umiesz rozpoznać typ zadania. Naucz się algorytmu decyzyjnego i poćwicz na minimum 15 zadaniach - po tym będziesz rozpoznawać typy automatycznie.

Następny krok Losuj kolejne zadanie