Prawdopodobienstwo i kombinatoryka na maturze - wzory, metody i zadania CKE

Prawdopodobienstwo na maturze - łatwiejsze niż myślisz

Prawdopodobienstwo i kombinatoryka pojawiają się na maturze w 2-3 zadaniach (zwykle zamkniętych za 1 pkt + jedno otwarte za 2 pkt). Łącznie to 3-4 punkty. Zadania z tego tematu mają jedną cechę: albo wiesz jak je rozwiązać i robisz to w minutę, albo nie masz pojęcia od czego zacząć. Ten przewodnik sprawi, że będziesz w tej pierwszej grupie.

Klasyczna definicja prawdopodobienstwa

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

Gdzie $|A|$ to liczba zdarzeń sprzyjających (tych, które chcemy), a $|\Omega|$ to liczba wszystkich możliwych zdarzeń.

Ważne: Ta definicja działa tylko wtedy, gdy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (np. rzut kostką, losowanie z urny). Na maturze podstawowej to warunek spełniony w 99% zadań.

Reguła mnożenia

Jeśli jedno zdarzenie może zajść na $m$ sposobów, a drugie (niezależne od pierwszego) na $n$ sposobów, to oba mogą zajść na $m \cdot n$ sposobów.

Przykład: Ile jest trzycyfrowych liczb parzystych?

Silnia, permutacje, kombinacje

Silnia

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$

Wartości, które warto pamiętać: $0! = 1$, $1! = 1$, $2! = 2$, $3! = 6$, $4! = 24$, $5! = 120$, $6! = 720$.

Permutacje

Ile jest sposobów ustawienia $n$ elementów w kolejności?

$$P_n = n!$$

Przykład: Na ile sposobów 5 osób może ustawić się w kolejce? $5! = 120$.

Kombinacje (symbol Newtona)

Na ile sposobów wybrać $k$ elementów z $n$ (bez kolejności)?

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Przykład: Na ile sposobów wybrać 3 osoby z 10?
$$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$$ Trick obliczeniowy: Nie mnóż całych silni! Skracaj od razu:
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}$$

W liczniku bierzesz $k$ kolejnych liczb od $n$ w dół. W mianowniku bierzesz $k!$.

Kiedy permutacja, a kiedy kombinacja?

Na maturze najczęściej pojawiają się kombinacje - losujemy kule z urny, wybieramy uczniów do drużyny itp.

Zdarzenia złożone

Zdarzenie przeciwne

$$P(A') = 1 - P(A)$$

Używaj, gdy łatwiej policzyć to, czego nie chcemy, a potem odjąć od 1.

Przykład: Jakie jest prawdopodobienstwo, że wśród 3 losowanych kart z talii 52 kart jest co najmniej jeden as?

Łatwiej policzyć: "żaden as" i odjąć od 1:
$$P(\text{żaden as}) = \frac{\binom{48}{3}}{\binom{52}{3}}$$ $$P(\text{co najmniej 1 as}) = 1 - P(\text{żaden as})$$

Zdarzenia rozłączne

Jeśli $A$ i $B$ nie mogą zajść jednocześnie:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Przykład: Prawdopodobienstwo wyrzucenia 1 lub 6 na kostce: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

Przykład 1: Losowanie z urny (zamknięte, 1 pkt)

Treść: W urnie jest 6 kul białych i 4 kule czarne. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobienstwo wylosowania kuli białej jest równe

A. $\frac{2}{5}$    B. $\frac{3}{5}$    C. $\frac{2}{3}$    D. $\frac{3}{2}$

Rozwiązanie:

$$P = \frac{6}{6 + 4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

Odpowiedź: B

Przykład 2: Losowanie dwóch kul (otwarte, 2 pkt)

Treść: W pudełku jest 5 kul czerwonych i 3 kule zielone. Losujemy jednocześnie 2 kule. Oblicz prawdopodobienstwo, że obie wylosowane kule są czerwone.

Rozwiązanie:

Wszystkie sposoby wybrania 2 kul z 8:
$$|\Omega| = \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$$ Sposoby wybrania 2 czerwonych z 5:
$$|A| = \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$ $$P = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$$

Odpowiedź: $P = \frac{5}{14}$

Przykład 3: Reguła mnożenia (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Ile czterocyfrowych liczb można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, jeśli cyfry nie mogą się powtarzać?

A. $20$    B. $60$    C. $120$    D. $625$

Rozwiązanie:

Bez powtórzeń:

$$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$$

Odpowiedź: C

Przykład 4: Zdarzenie przeciwne (otwarte, 2 pkt)

Treść: Rzucamy dwa razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobienstwo, że co najmniej raz wypadnie szóstka.

Rozwiązanie:

Łatwiej przez zdarzenie przeciwne ("ani razu szóstka"):

Prawdopodobienstwo, że w jednym rzucie nie wypadnie 6: $\frac{5}{6}$

Prawdopodobienstwo, że w dwóch rzutach ani razu nie wypadnie 6:
$$P(A') = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$ Prawdopodobienstwo, że co najmniej raz wypadnie 6:
$$P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$

Odpowiedź: $P = \frac{11}{36}$

Najczęstsze błędy

Błąd 1: Losowanie "jednocześnie" vs "po kolei". Losowanie 2 kul jednocześnie to to samo co losowanie po kolei bez zwracania i bez kolejności. Używaj symbolu Newtona.

Błąd 2: Zapominanie o skracaniu ułamków. Wynik $\frac{10}{28}$ na maturze musisz skrócić do $\frac{5}{14}$. Nieskrócony ułamek = utrata punktu.

Błąd 3: Mieszanie "z powtórzeniami" i "bez powtórzeń". Rzucając kostką 3 razy - wyniki mogą się powtarzać ($6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$). Losując 3 kule z urny - nie mogą (symbol Newtona).

Błąd 4: Nieprawidłowe użycie dodawania. Prawdopodobienstwa dodajemy tylko dla zdarzeń rozłącznych. "Wypadnie 1 lub 6" - dodajemy. "Pierwsza kula czerwona lub druga zielona" - nie dodajemy (zdarzenia mogą zajść jednocześnie).

Strategia "urna"

Na maturze 80% zadań z prawdopodobienstwa to warianty jednego schematu: losowanie z urny/pudełka/zbioru. Schemat rozwiązywania:

1. Policz $|\Omega|$ - wszystkie sposoby losowania (zwykle $\binom{n}{k}$)
2. Policz $|A|$ - sposoby sprzyjające (zwykle $\binom{n_1}{k_1} \cdot \binom{n_2}{k_2}$)
3. Podziel: $P = \frac{|A|}{|\Omega|}$
4. Skróć ułamek

Na Sprawnej Maturze masz zadania z prawdopodobienstwa i kombinatoryki z prawdziwych arkuszy CKE - przećwicz schemat "urna" na 20 zadaniach i opanujesz ten temat na stałe.