Prawdopodobieństwo i kombinatoryka na maturze - wzory, metody i zadania CKE

Prawdopodobieństwo na maturze - łatwiejsze niż myślisz

Prawdopodobieństwo i kombinatoryka pojawiają się na maturze w 2-3 zadaniach (zwykle zamkniętych za 1 pkt + jedno otwarte za 2 pkt). Łącznie to 3-4 punkty. Zadania z tego tematu mają jedną cechę: albo wiesz jak je rozwiązać i robisz to w minutę, albo nie masz pojęcia od czego zacząć. Ten przewodnik sprawi, że będziesz w tej pierwszej grupie.

Klasyczna definicja prawdopodobienstwa

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

Gdzie $|A|$ to liczba zdarzeń sprzyjających (tych, które chcemy), a $|\Omega|$ to liczba wszystkich możliwych zdarzeń.

Reguła mnożenia

Jeśli jedno zdarzenie może zajść na $m$ sposobów, a drugie (niezależne od pierwszego) na $n$ sposobów, to oba mogą zajść na $m \cdot n$ sposobów.

Przykład: Ile jest trzycyfrowych liczb parzystych?

• •Pierwsza cyfra: 9 możliwości (1-9, bo nie może być 0)
• •Druga cyfra: 10 możliwości (0-9)
• •Trzecia cyfra: 5 możliwości (0, 2, 4, 6, 8 - bo parzysta)
• •Razem: $9 \cdot 10 \cdot 5 = 450$

Silnia, permutacje, kombinacje

Silnia

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

Wartości, które warto pamiętać: $0! = 1$, $1! = 1$, $2! = 2$, $3! = 6$, $4! = 24$, $5! = 120$, $6! = 720$.

Permutacje

Ile jest sposobów ustawienia $n$ elementów w kolejności?

$P_n = n!$

Przykład: Na ile sposobów 5 osób może ustawić się w kolejce? $5! = 120$.

Kombinacje (symbol Newtona)

Na ile sposobów wybrać $k$ elementów z $n$ (bez kolejności)?

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ Przykład: Na ile sposobów wybrać 3 osoby z 10?
$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$ Trick obliczeniowy: Nie mnóż całych silni! Skracaj od razu:
$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

W liczniku bierzesz $k$ kolejnych liczb od $n$ w dół. W mianowniku bierzesz $k!$.

Kiedy permutacja, a kiedy kombinacja?

• •Kolejność ma znaczenie (kto pierwszy, kto drugi) = permutacja/reguła mnożenia
• •Kolejność nie ma znaczenia (wybieramy grupę) = kombinacja/symbol Newtona

Na maturze najczęściej pojawiają się kombinacje - losujemy kule z urny, wybieramy uczniów do drużyny itp.

Zdarzenia złożone

Zdarzenie przeciwne

$P(A') = 1 - P(A)$

Używaj, gdy łatwiej policzyć to, czego nie chcemy, a potem odjąć od 1.

Przykład: Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 3 losowanych kart z talii 52 kart jest co najmniej jeden as?

Łatwiej policzyć: "żaden as" i odjąć od 1:
$P(\text{żaden as}) = \frac{\binom{48}{3}}{\binom{52}{3}}$ $P(\text{co najmniej 1 as}) = 1 - P(\text{żaden as})$

Zdarzenia rozłączne

Jeśli $A$ i $B$ nie mogą zajść jednocześnie:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Przykład: Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 lub 6 na kostce: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

Najczęstsze błędy

Błąd 1: Losowanie "jednocześnie" vs "po kolei". Losowanie 2 kul jednocześnie to to samo co losowanie po kolei bez zwracania i bez kolejności. Używaj symbolu Newtona.

Błąd 2: Zapominanie o skracaniu ułamków. Wynik $\frac{10}{28}$ na maturze musisz skrócić do $\frac{5}{14}$. Nieskrócony ułamek = utrata punktu.

Błąd 3: Mieszanie "z powtórzeniami" i "bez powtórzeń". Rzucając kostką 3 razy - wyniki mogą się powtarzać ($6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$). Losując 3 kule z urny - nie mogą (symbol Newtona).

Błąd 4: Nieprawidłowe użycie dodawania. Prawdopodobienstwa dodajemy tylko dla zdarzeń rozłącznych. "Wypadnie 1 lub 6" - dodajemy. "Pierwsza kula czerwona lub druga zielona" - nie dodajemy (zdarzenia mogą zajść jednocześnie).

Strategia "urna"

Na maturze 80% zadań z prawdopodobienstwa to warianty jednego schematu: losowanie z urny/pudełka/zbioru. Schemat rozwiązywania:

1. 1.Policz $|\Omega|$ - wszystkie sposoby losowania (zwykle $\binom{n}{k}$)
2. 2.Policz $|A|$ - sposoby sprzyjające (zwykle $\binom{n_1}{k_1} \cdot \binom{n_2}{k_2}$)
3. 3.Podziel: $P = \frac{|A|}{|\Omega|}$
4. 4.Skróć ułamek

Na Sprawnej Maturze masz zadania z prawdopodobienstwa i kombinatoryki z prawdziwych arkuszy CKE - przećwicz schemat "urna" na 20 zadaniach i opanujesz ten temat na stałe.

Następny krok Losuj kolejne zadanie