Przejdź do treści
Prawdopodobieństwo

Jak obliczyć prawdopodobieństwo - definicja klasyczna, drzewka i zadania maturalne

Prawdopodobieństwo od podstaw. Definicja klasyczna, metoda drzewka, zdarzenia łączne i wykluczające. 6 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku.

·4 min czytania

Po co ci prawdopodobieństwo?

Prawdopodobieństwo pojawia się na każdej maturze. Zwykle 1-2 zadania zamknięte i czasem jedno otwarte. To łatwe punkty, jeśli rozumiesz podstawy. Problem w tym, że wielu uczniów boi się tego tematu - bo wydaje się abstrakcyjny. Ale jest prosty.

Na maturze nie potrzebujesz zaawansowanej teorii. Wystarczy definicja klasyczna, umiejętność rysowania drzewka i podstawowe wzory. Pokażę ci wszystko na konkretnych przykładach.

Definicja klasyczna - fundament

P(A)=liczba wynikoˊw sprzyjającychliczba wszystkich wynikoˊwP(A) = \frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}

Inaczej: prawdopodobieństwo zdarzenia AA to stosunek "dobrych" wyników do "wszystkich" wyników.

Warunki: Wszystkie wyniki muszą być jednakowo prawdopodobne. Rzut kostką - tak (każda ściana ma tę samą szansę). Pogoda jutro - nie (nie każdy wynik jest równie prawdopodobny).

Ważne właściwości:

  • •0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1 - prawdopodobieństwo jest zawsze między 0 a 1
  • •P(A)=0P(A) = 0 - zdarzenie niemożliwe
  • •P(A)=1P(A) = 1 - zdarzenie pewne
  • •P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A) - zdarzenie przeciwne

Więcej teorii znajdziesz w przewodniku po prawdopodobieństwie.

Przykład 1 - Rzut kostką

0/6
Prawdopodobieństwo

Rzucamy kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Wszystkie wyniki: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jest ich 6.

  2. Krok 2

    Wyniki sprzyjające (liczby parzyste): {2, 4, 6}. Jest ich 3.

  3. Krok 3
    P=36=12P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

    Intuicyjne: połowa ścianek to liczby parzyste, więc szansa to 50%.

Przykład 2 - Losowanie z urny

0/6
Prawdopodobieństwo

W urnie jest 5 kul białych i 3 kule czarne. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?

Wszystkich kul: 5+3=85 + 3 = 8.

Kul białych: 5.

Pokaż rozwiązanie
P(biała)=58P(\text{biała}) = \frac{5}{8}

Proste. Ale co gdy losujemy więcej kul? Tu wchodzi metoda drzewka.

Przykład 3 - Drzewko (losowanie BEZ zwracania)

0/6
Prawdopodobieństwo

W urnie jest 4 kule białe i 3 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie są białe?

Rysujemy drzewko. Pierwsze losowanie:

  • •P(biała₁) = 47\frac{4}{7}
  • •P(czarna₁) = 37\frac{3}{7}

Drugie losowanie (po wylosowaniu białej - została 1 biała mniej i 1 kula mniej):

  • •P(biała₂ | biała₁) = 36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Prawdopodobieństwo obu białych (mnożymy gałęzie):

P(BB)=47⋅36=1242=27P(\text{BB}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}

Klucz: bez zwracania oznacza, że w drugim losowaniu zmieniają się liczby. Jest 6 kul, nie 7. I 3 białe, nie 4.

Przykład 4 - Zdarzenie przeciwne

0/6
Prawdopodobieństwo

Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek jest większa niż 3?

Bezpośrednie liczenie byłoby długie (dużo kombinacji). Łatwiej przez zdarzenie przeciwne:

P(suma>3)=1−P(suma≤3)P(\text{suma} > 3) = 1 - P(\text{suma} \leq 3)

Suma ≤3\leq 3 to:

  • •(1,1) - suma 2
  • •(1,2) - suma 3
  • •(2,1) - suma 3

3 wyniki sprzyjające z 6×6=366 \times 6 = 36 możliwych.

Pokaż rozwiązanie
P(suma≤3)=336=112P(\text{suma} \leq 3) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} P(suma>3)=1−112=1112P(\text{suma} > 3) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}

Zdarzenie przeciwne to potężna technika. Używaj jej, gdy bezpośrednie liczenie jest trudne. Pytanie "jaka szansa, że PRZYNAJMNIEJ jedno..." to prawie zawsze sygnał na zdarzenie przeciwne. Więcej trików w zadaniach zamkniętych.

Przykład 5 - Z kombinatoryką

0/6
Prawdopodobieństwo

Z grupy 10 osób (6 chłopaków i 4 dziewczyny) losujemy 3-osobowy zespół. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w zespole będą dokładnie 2 chłopaki i 1 dziewczyna?

Tu potrzebujesz kombinacji (symbolu Newtona).

Wszystkie możliwe zespoły:

(103)=10!3!⋅7!=10⋅9⋅83⋅2⋅1=120\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120

Sprzyjające (2 chłopaków z 6 i 1 dziewczyna z 4):

(62)⋅(41)=15⋅4=60\binom{6}{2} \cdot \binom{4}{1} = 15 \cdot 4 = 60

Prawdopodobieństwo:

P=60120=12P = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}

Wzór na symbol Newtona musisz znać na pamięć. Jest na karcie wzorów, ale szybciej go pamiętać.

Przykład 6 - Zdarzenia niezależne

0/6
Prawdopodobieństwo

Rzucamy monetą 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie dokładnie 2 razy orzeł?

Korzystamy ze schematu Bernoulliego. Prawdopodobieństwo orła w jednym rzucie: p=12p = \frac{1}{2}.

Liczba rzutów: n=3n = 3. Szukamy: k=2k = 2 orłów.

Pokaż rozwiązanie
P(X=2)=(32)⋅(12)2⋅(12)1=3⋅14⋅12=38P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}

Ogólny wzór Bernoulliego:

P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Jest na karcie wzorów CKE. Warto go kojarzyć - pojawia się co 2-3 matury.

Kluczowe wzory - ściągawka

Definicja klasyczna: P(A)=wyniki sprzyjającewszystkie wynikiP(A) = \frac{\text{wyniki sprzyjające}}{\text{wszystkie wyniki}}

Zdarzenie przeciwne: P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A)

Zdarzenia niezależne (oba): P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Zdarzenia wykluczające (jedno lub drugie): P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Schemat Bernoulliego: P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Typowe pułapki

Pułapka 1: "Lub" vs "i"

"Lub" (suma zdarzeń) to zazwyczaj dodawanie. "I" (iloczyn zdarzeń) to mnożenie. Ale uwaga: dodajemy tylko przy zdarzeniach wykluczających się! Ogólny wzór:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Pułapka 2: Ze zwracaniem vs bez zwracania

  • •Ze zwracaniem: prawdopodobieństwa się nie zmieniają między losowaniami
  • •Bez zwracania: po każdym losowaniu zmniejsza się pula

Czytaj treść zadania uważnie. "Losujemy dwie kule" bez dodatkowej informacji = bez zwracania.

Pułapka 3: "Przynajmniej jeden" = zdarzenie przeciwne

"Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedna kula jest biała?" Nie licz bezpośrednio. Policz prawdopodobieństwo, że ŻADNA nie jest biała (obie czarne) i odejmij od 1.

Pułapka 4: Kolejność ma znaczenie?

Losowanie osób do komisji - kolejność NIE ma znaczenia (kombinacje). Ustawianie osób w kolejce - kolejność MA znaczenie (wariacje/permutacje). Więcej o tym w kombinatoryce na maturze.

Podsumowanie - co musisz umieć

  • Stosować definicję klasyczną prawdopodobieństwa
  • Rysować drzewko i mnożyć gałęzie
  • Rozróżniać losowanie ze zwracaniem i bez
  • Stosować zdarzenie przeciwne (1−P1 - P)
  • Łączyć prawdopodobieństwo z kombinatoryką (symbol Newtona)
  • Stosować schemat Bernoulliego

Chcesz przećwiczyć? Przejdź do zadań z prawdopodobieństwa i zadań z kombinatoryki. Zacznij od zadań zamkniętych, potem otwarte.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Kategoria: Prawdopodobieństwo

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2376

zadań CKE

2000+

rozwiązań

1537

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Losowanie ze zwracaniem - prawdopodobieństwo, reguła mnożenia i zadania maturalne

Losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem: wszystkich wyników jest n do kwadratu, para (a, b) to wynik, a kolejność ma znaczenie. Reguła mnożenia, tabela par i osiem zadań z matur podstawowych rozwiązanych krok po kroku.

Rozwiązanie zadania

Rzut monetą - prawdopodobieństwo, drzewko i zadania maturalne

Przy n rzutach monetą jest 2^n wyników, a prawdopodobieństwo dokładnie k orłów to symbol Newtona podzielony przez 2^n. Drzewko, wzór i 7 zadań CKE rozwiązanych krok po kroku.

Rozwiązanie zadania

Rzut dwiema kostkami - prawdopodobieństwo i tabela 36 wyników

Przy dwukrotnym rzucie kostką jest 36 zdarzeń elementarnych, nie 21. Pełna tabela sum oczek, rozkład od 2 do 12 i osiem rozwiązanych zadań CKE z matur 2020-2026.