Paweł i Grzegorz postanowili zagrać w grę losową. Ich wspólny kolega będzie kolejno rzucał sześcienną symetryczną kostką do gry, której ścianki są oznaczone od 1 do 6. Gdy na kostce wypadnie liczba oczek mniejsza od 4, to Grzegorz daje Pawłowi 10 żetonów, a gdy na kostce wypadnie liczba oczek równa 6, to Paweł daje Grzegorzowi x żetonów. W pozostałych przypadkach żaden z graczy nie zyskuje ani nie traci żetonów. Paweł i Grzegorz sprawiedliwie ustalili liczbę x żetonów tak, aby wartość oczekiwana zysku z gry Pawła była równa wartości oczekiwanej zysku z gry Grzegorza. Oblicz ustaloną przez Pawła i Grzegorza liczbę x żetonów.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=30
## Analiza sytuacji
Rozważmy wszystkie możliwe wyniki rzutu kostką i związane z nimi zyski Pawła:
Wyniki na kostce: - Liczby mniejsze od 4: 1, 2, 3 → Paweł zyskuje 10 żetonów - Liczba równa 6: 6 → Paweł traci x żetonów - Pozostałe liczby: 4, 5 → brak zmian
## Prawdopodobieństwa zdarzeń
Dla symetrycznej kostki: - P(wynik < 4) = P({1,2,3}) = 3/6 = 1/2 - P(wynik = 6) = 1/6 - P(wynik ∈ {4,5}) = 2/6 = 1/3
## Wartość oczekiwana zysku Pawła
Zysk Pawła w pojedynczym rzucie:
E(zysk Pawła) = 10 · 1/2 + (-x) · 1/6 + 0 · 1/3
E(zysk Pawła) = 5 - x/6
## Wartość oczekiwana zysku Grzegorza
Grzegorz otrzymuje żetony dokładnie wtedy, gdy Paweł je traci (i na odwrót):
E(zysk Grzegorza) = -10 · 1/2 + x · 1/6 + 0 · 1/3
E(zysk Grzegorza) = -5 + x/6
## Warunek sprawiedliwości gry
Gra jest sprawiedliwa, gdy obie wartości oczekiwane są równe:
5 - x/6 = -5 + x/6
Rozwiązujemy równanie:
5 + 5 = x/6 + x/6
10 = 2x/6
10 = x/3
x = 30
## Weryfikacja
Dla x = 30: - E(zysk Pawła) = 5 - 30/6 = 5 - 5 = 0 - E(zysk Grzegorza) = -5 + 30/6 = -5 + 5 = 0
Obie wartości oczekiwane są równe zero, co oznacza, że gra jest sprawiedliwa.
Odpowiedź: x = 30 żetonów
Prawdopodobieństwo: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, drzewa stochastyczne, zdarzenia przeciwne i doświadczenia losowe z arkuszy maturalnych.